MT【184】$\epsilon$助力必要性

已知满足不等式$|x^2-4x+a|+|x-3|\le5$的最大值为$3$,求实数$a$的值,并解该不等式.

证明:
1)当$x=3$时,$|a-3|\le5$,得$a\in[-2,8]$
2)$\forall \epsilon>0,\textbf{令}x=3+\epsilon,|(3+\epsilon)^2-4(3+\epsilon)+a|+|3+\epsilon-3|>5$
当$a\ge 3,\epsilon^2+3\epsilon+a>8$令$\epsilon\longrightarrow 0$得$a\ge8$.
当$a<3$令$\epsilon=1$,得$|a|+1>5$,矛盾.
故$a=8,x\in[2,3]$