【刷题】LOJ 2587 「APIO2018」铁人两项

题目描述

比特镇的路网由 \(m\) 条双向道路连接的 \(n\) 个交叉路口组成。

最近，比特镇获得了一场铁人两项锦标赛的主办权。这场比赛共有两段赛程：选手先完成一段长跑赛程，然后骑自行车完成第二段赛程。

比赛的路线要按照如下方法规划：

1、先选择三个两两互不相同的路口 \(s\) ，\(c\) 和 \(f\) ，分别作为比赛的起点、切换点（运动员在长跑到达这个点后，骑自行车前往终点）、终点。

2、选择一条从 \(s\) 出发，经过 \(c\) 最终到达 \(f\) 的路径。考虑到安全因素，选择的路径经过同一个点至多一次。

在规划路径之前，镇长想请你帮忙计算，总共有多少种不同的选取 \(s\) ，\(c\) 和 \(f\) 的方案，使得在第 2 步中至少能设计出一条满足要求的路径。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\) ，分别表示交叉路口和双向道路的数量。

接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(v_i\) ​​，\(u_i\) 。表示存在一条双向道路连接交叉路口 \(v_i\) ， \(u_i\) (\(1 \le v_i, u_i \le n, v_i \neq u_i\))。

保证任意两个交叉路口之间，至多被一条双向道路直接连接。

输出格式

输出一行，包括一个整数，表示能满足要求的不同的选取 \(s\) ， \(c\) 和 \(f\) 的方案数。

样例

样例输入1

4 3
1 2
2 3
3 4

样例输出1

8

样例解释1

在第一个样例中，有以下 8 种不同的选择 \((s, c, f)\) 的方案：\((1, 2, 3)\)，\((1, 2, 4)\)，\((1, 3, 4)\)，\((2, 3, 4)\)，\((3, 2, 1)\)，\((4, 2, 1)\)，\((4, 3, 1)\)，\((4, 3, 2)\) 。

样例输入2

4 4
1 2
2 3
3 4
4 2

样例输出2

14

样例解释2

在第二个样例中，有以下 14 种不同的选择 \((s, c, f)\) 的方案：\((1, 2, 3)\)，\((1, 2, 4)\)，\((1, 3, 4)\)，\((1, 4, 3)\)，\((2, 3, 4)\)，\((2, 4, 3)\)，\((3, 2, 1)\)，\((3, 2, 4)\)，\((3, 4, 1)\)，\((3, 4, 2)\)，\((4, 2, 1)\)，\((4, 2, 3)\)，\((4, 3, 1)\)，\((4, 3, 2)\) 。

数据范围与提示

子任务 1（5 分）：\(n \le 10 , m \le 100\)

子任务 2（11 分）：\(n \le 50 , m \le 100\)

子任务 3（8 分）：\(n \le 100\,000\) ，每个交叉路口至多作为两条双向道路的端点。

子任务 4（10 分）：\(n \le 1\,000\) ，在路网中不存在环。

存在环是指存在一个长度为 \(k\) (\(k\ge 3\)) 的交叉路口序列 \(v_1, v_2, \ldots v_k\) ，序列中的路口编号两两不同，且对于 \(i\) 从 \(1\) 到 \(k-1\) ，有一条双向道路直接连接路口 \(v_i\) 和 \(v_{i+1}\) ，且有一条双向道路直接连接路口 \(v_k\) 和 \(v_1\) 。

子任务 5（13 分）：\(n \le 100\,000\) ，在路网中不存在环。

子任务 6（15 分）：\(n \le 1\,000\) ，对于每个交叉路口，至多被一个环包含。

子任务 7（20 分）：\(n \le 100\,000\) ，对于每个交叉路口，至多被一个环包含。

子任务 8（8 分）：\(n \le 1\,000, m \le 2\,000\)

子任务 9（10 分）：\(n \le 100\,000, m \le 200\,000\)

题解

考场上就多写了个树的，后来发现圆方树的做法好简单啊，居然没想出来qwq

求出点双并且建出圆方树后，假设确定了 \(s\) 和 \(f\) ，那么 \(c\) 的情况就是 \(s\) 到 \(f\) 的路径上的点相邻的不同的圆点的个数

令每个方点的权值等于其度数，圆点的权值等于 \(-1\) ，那么 \(c\) 的数量就等于 \(s\) 到 \(f\) 路径上的权值和

所以就可以一个树形dp，线性统计答案了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=100000+10,MAXM=200000+10;
int n,m,e,to[MAXM<<2],nex[MAXM<<2],out[MAXM<<2],beg[MAXN<<1],val[MAXN<<1],Visit_Num,DFN[MAXN],LOW[MAXN],cnt,Be[MAXN],size[MAXN<<1],vis[MAXN<<1],bel[MAXN<<1],all[MAXN<<1],clk;
ll ans;
std::stack<int> s;
std::vector<int> point[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void insert(int x,int y)
{
	to[++e]=y;
	nex[e]=beg[x];
	out[e]=x;
	beg[x]=e;
}
inline void Tarjan(int x,int f)
{
	DFN[x]=LOW[x]=++Visit_Num;bel[x]=clk;all[clk]++;
	for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
		if(to[i]==f)continue;
		else if(!DFN[to[i]])
		{
			s.push(i);
			Tarjan(to[i],x);
			chkmin(LOW[x],LOW[to[i]]);
			if(LOW[to[i]]>=DFN[x])
			{
				int temp;++cnt;
				do{
					temp=s.top();
					s.pop();
					if(Be[out[temp]]!=cnt)
					{
						Be[out[temp]]=cnt;
						point[cnt].push_back(out[temp]);
					}
					if(Be[to[temp]]!=cnt)
					{
						Be[to[temp]]=cnt;
						point[cnt].push_back(to[temp]);
					}
				}while(out[temp]!=x||to[temp]!=to[i]);
			}
		}
		else if(DFN[to[i]]<DFN[x])s.push(i),chkmin(LOW[x],DFN[to[i]]);
}
inline void dfs(int x,int f)
{
	vis[x]=1;
	for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
		if(to[i]==f)continue;
		else
		{
			dfs(to[i],x);
			ans+=1ll*val[x]*size[x]*size[to[i]];
			size[x]+=size[to[i]];
		}
	if(x<=n)size[x]++;
	if(x<=n)ans+=1ll*val[x]*(size[x]-1)*(all[bel[x]]-size[x])-all[bel[x]]+1;
	else ans+=1ll*val[x]*size[x]*(all[bel[x]]-size[x]);
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u,v;read(u);read(v);
		insert(u,v);insert(v,u);
	}
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		if(!DFN[i])clk++,Tarjan(i,0);
	e=0;memset(beg,0,sizeof(beg));
	for(register int i=1;i<=n;++i)val[i]=-1;
	for(register int i=1;i<=cnt;++i)
		for(register int j=0,lt=point[i].size();j<lt;++j)
		{
			bel[i+n]=bel[point[i][j]];
			insert(i+n,point[i][j]);
			insert(point[i][j],i+n);
			val[i+n]++;
		}
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		if(!vis[i])dfs(i,0);
	write(ans<<1,'\n');
	return 0;
}