CF 633 E. Binary Table

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题目大意：给定一个棋盘，棋盘上有0或1，你可以将一整行取反或者一整列取反，要使得最后剩的1最少。\((1\le n\le 20,1\le m\le 100000)\)。

一个容易想到的思路就是先枚举行是否取反，然后列就看1的个数是否大于\(\frac{n}{2}\)考虑是否取反。

我们设函数\(f(x)\)表示\(min(x_0,x_1)\)，\(x\)在二进制状态下0或1最少的个数。

我们设行的取反状态为\(k\)，每列的最终状态就是\(sta[i]\ xor\ k\),对答案的贡献就是\(f(sta[i]\ xor\ k)\)。

所以我们构造\(g(x)\)表示初始状态为\(x\)的列的数量。答案函数\(A(x)\)表示行的取反状态为\(x\)的答案，则\(A=f*g\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;
int s[25][100005];
ll f[1<<20],g[1<<20];
int Count(int s) {
	int ans=0;
	for(;s;s>>=1) ans+=s&1;
	return ans;
}

void FWT_xor(ll *a,int n,int flag) {
	for(int len=2;len<=n;len<<=1) {
		for(int mid=len>>1,i=0;i<n;i+=len) {
			for(int j=0;j<mid;j++) {
				ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid];
				a[i+j]=u+v,a[i+j+mid]=u-v;
				if(flag==-1) a[i+j]/=2,a[i+j+mid]/=2;
			}
		}
	}
}

char t[100005];
int main() {
	n=Get(),m=Get();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%s",t+1);
		for(int j=1;j<=m;j++)
			s[i][j]=t[j]-'0';
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int now=0;
		for(int j=1;j<=n;j++) now=(now<<1)|s[j][i];
		g[now]++;
	}
	for(int s=0;s<(1<<n);s++) {
		f[s]=Count(s);
		f[s]=min(f[s],n-f[s]);
	}
	FWT_xor(f,1<<n,1),FWT_xor(g,1<<n,1);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++) f[i]*=g[i];
	FWT_xor(f,1<<n,-1);
	ll ans=1e9;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++) ans=min(ans,f[i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}