UVA10600 次小生成树

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-10600

题意：叫我们求出最小生成树的边权之和 和次小生成树的边权之和。

思路：我们可以先求出最小生成树，这个不难，如果要求次小生成树，那么我们肯定是要在最小生成树里面去掉一条边（假设是a）,这样就变成两颗生成树了，我们就还要找一条边（假设是b）把这两颗树连接。这里我们需要满足的就是b-a最小（b一定大于a），这样找到的生成树就是次小生成树了是吧。

关键就是怎么更快的找到b和a这两条边的权值，使b-a最小。因为现在已经是最小生成树了，我们如果连接任意两点，那么根据树的性质，就一定会形成一个环了，那么我们肯定是去掉这个环里面除去边b之外的所有边里面权值最大的边，这样才可以在选择连接边b的情况下使重新生成的树的权值最小。然按照这个思路我们枚举每两点，就可以求出次小生成树了。

现在我们就要求出在最小生成树上每两点之间最大的边权，我们在这里用动态规划来实现，用maxx[i][j]来记录点i和点j之间最大的边权,在用prime算法来求最小生成树的时候，我们每增加一个点到树中，就求出这个点和已经加入树里面的所有点之间的maxx数组值，这里还要记录每个点的前驱，（假设点u的前驱就是pre[u]，那么pre[u]就是在生成树里面和点u直接相连的并且在点u之前加入树中的点），那么假设现在我把点u加到树上，点j在点u之前就已经加在树上了，现在我要求出maxx[j][u]，递推公式就是

maxx[j][u]=max（maxx[j][pre[u]]，map[u][pre[u]]）；也就是max（pre[u]和点j的maxx数组值，pre[u]和点u直接相连的边的权值）；

看代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<deque>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define eps 1e-8
#define INF 0xffffff
#define maxn 105
int n,m,k,t,ans1,ans2,sum;
int check[maxn][maxn],map[maxn][maxn],pre[maxn],vis[maxn],maxx[maxn][maxn],dis[maxn];
//check[i][j]表示最小生成树里i和j是否直接相连，map[i][j]记录i和j的边权
//pre[u]记录点u的前驱，maxx[i][j]记录点i和点j之间路径上权值最大的边
void init(){
    memset(check,,sizeof(check));
    memset(pre,,sizeof(pre));
    memset(vis,,sizeof(vis));
    memset(maxx,,sizeof(maxx));
    for(int i=;i<n;i++){
        for(int j=i+;j<=n;j++){
            map[i][j]=map[j][i]=INF;
        }
    }
    sum=;//记录最小生成树的边权和
    ans1=ans2=INF;
}
void prime(){
    for(int i=;i<=n;i++)
    dis[i]=INF;
    dis[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        int u,min1=INF;
        for(int j=;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]<min1){
                min1=dis[j];
                u=j;
            }
        }
        vis[u]=;
        sum+=min1;
        check[pre[u]][u]=check[u][pre[u]]=;//把走过的边标记
        for(int j=;j<=n;j++){
            if(vis[j]&&j!=u){//用动态规划来计算点u和点j的maxx数组值
                maxx[j][u]=maxx[u][j]=max(maxx[pre[u]][j],map[pre[u]][u]);
            }
            if(!vis[j]&&dis[j]>map[u][j]){
                dis[j]=map[u][j];
                pre[j]=u;
            }
        } 

    }
}
void second(){//求次小生成树的权值和
    for(int i=;i<n;i++){
        for(int j=i+;j<=n;j++){
            if(map[i][j]!=INF&&check[i][j]==){
                ans2=min(ans2,sum+map[i][j]-maxx[i][j]);//去掉一条边，增加一条边
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init();
        int u,v,w;
        for(int i=;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            map[u][v]=map[v][u]=min(map[u][v],w);
        }
        prime();
        ans1=sum;
        second();
        printf("%d %d\n",ans1,ans2);
    }
    return ;
}