【CF809E】Surprise me!（动态规划，虚树，莫比乌斯反演）

【CF809E】Surprise me!（动态规划，虚树，莫比乌斯反演）

题面

洛谷

CodeForces

翻译：

给定一棵\(n\)个节点的树，每个点有一个权值\(a[i]\)，保证\(a[i]\)是一个\(1..n\)的排列。

求$$\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}n\varphi(a_i*a_j)·dist(i,j)$$

其中，\(\varphi(x)\)是欧拉函数，\(dist(i,j)\)表示\(i,j\)两个节点在树上的距离。

题解

神题啊。。。

首先来个轻松而有趣的结论

\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)*\frac{d}{\varphi(d)}\)，其中，\(d=gcd(a,b)\)

证明？大力分解质因数就好啦

现在我们来推式子（好久没有推过式子啦）

先不管前面那个东西

\[\begin{aligned}
Ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i)\varphi(a_j)\frac{gcd(a_i,a_j)}{\varphi(gcd(a_i,a_j)}dist(i,j)\\
&=\sum_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(a_i,a_j)=d]\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)\\
\end{aligned}
\]

这样的东西很舒服啊

设$$g(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}n[gcd(a_i,a_j)=d]\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)$$

设$$f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}n[d|gcd(a_i,a_j)]\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)$$

然后莫比乌斯反演就可以用啦

\[g(d)=\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})f(i)
\]

现在只需要求解\(f(i)\)

接着推式子

\[\begin{aligned}Ans&=\sum_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}g(d)\\
&=\sum_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})f(i)\\
f(d)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[d|gcd(a_i,a_j)]\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist(i,j)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[d|gcd(a_i,a_j)]\varphi(a_i)\varphi(a_j)(dep_i+dep_j-2*dep_{lca})
\end{aligned}
\]

我们发现，对于\(d|gcd(a_i,a_j)\)的所有\(i,j\)

相当于满足\(a_i,a_j\)是\(d\)的倍数

如果只是求前面的两项只与自身有关的\(dep_i+dep_j\)，

这个问题就非常好解。

但是现在多了一个\(dep_{lca}\) 。

因此我们需要做\(dp\)。

把所有\(d|a_i\)的点全部拿下来建立虚树，在虚树上\(dp\)就好了。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 222222
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
struct Line{int v,next;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int a[MAX],b[MAX],n;
int phi[MAX],mu[MAX],pri[MAX],tot;
bool zs[MAX];
void pre(int N)
{
	zs[1]=true;phi[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]],mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else{mu[i*pri[j]]=0,phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
		}
	}
}
int dfn[MAX],low[MAX],size[MAX],hson[MAX],top[MAX],fa[MAX],tim,dep[MAX];
void dfs1(int u,int ff)
{
	fa[u]=ff;dep[u]=dep[ff]+1;size[u]=1;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff)continue;
		dfs1(v,u);size[u]+=size[v];
		if(size[v]>size[hson[u]])hson[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int tp)
{
	top[u]=tp;dfn[u]=++tim;
	if(hson[u])dfs2(hson[u],tp);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])
			dfs2(e[i].v,e[i].v);
	low[u]=tim;
}
int LCA(int u,int v)
{
	while(top[u]^top[v])dep[top[u]]<dep[top[v]]?v=fa[top[v]]:u=fa[top[u]];
	return dep[u]<dep[v]?u:v;
}
bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];}
int ans=0,K,p[MAX<<1],S[MAX],f[MAX];
bool vis[MAX];
void Plus(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
void DP(int u)
{
	f[u]=vis[u]?phi[a[u]]:0;
	Plus(ans,MOD-1ll*f[u]*f[u]%MOD*dep[u]%MOD);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		DP(e[i].v);
		Plus(ans,MOD-2ll*f[u]*f[e[i].v]%MOD*dep[u]%MOD);
		Plus(f[u],f[e[i].v]);
	}
}
int F[MAX],G[MAX];
int main()
{
	n=read();pre(n);
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),b[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		Add(u,v);Add(v,u);
	}
	dfs1(1,0);dfs2(1,1);
	memset(h,0,sizeof(h));
	for(int T=1;T<=n;++T)
	{
		K=n/T;int s1=0,s2=0;cnt=1;
		for(int i=1;i<=K;++i)p[i]=b[i*T];
		for(int i=1;i<=K;++i)
			Plus(s1,phi[a[p[i]]]),Plus(s2,1ll*dep[p[i]]*phi[a[p[i]]]%MOD);
		for(int i=1;i<=K;++i)vis[p[i]]=true;
		sort(&p[1],&p[K+1],cmp);
		for(int i=K;i>1;--i)p[++K]=LCA(p[i],p[i-1]);
		sort(&p[1],&p[K+1],cmp);K=unique(&p[1],&p[K+1])-p-1;
		for(int i=1,tp=0;i<=K;++i)
		{
			while(tp&&low[S[tp]]<dfn[p[i]])--tp;
			Add(S[tp],p[i]);S[++tp]=p[i];
		}
		DP(p[1]);Plus(ans,ans);
		Plus(ans,2ll*s1*s2%MOD);
		for(int i=1;i<=K;++i)h[p[i]]=0,vis[p[i]]=false;
		F[T]=ans;ans=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=i;j<=n;j+=i)
			if(mu[j/i]!=0)Plus(G[i],(mu[j/i]==1)?F[j]:(MOD-F[j]));
	for(int i=1;i<=n;++i)G[i]=1ll*G[i]*i%MOD*fpow(phi[i],MOD-2)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)Plus(ans,G[i]);
	ans=1ll*ans*fpow(n,MOD-2)%MOD*fpow(n-1,MOD-2)%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}