学习了元根的一些知识,哈哈。

总结一下:

几个概念:

阶:对于模数m和整数a,并且gcd(m,a)==1,那么定义a在模m下的阶r为满足ar=1 mod m的最小正整数。

性质1:r in [1,phi(m)]   (由欧拉定理)

性质2:r | phi(m)  ( ar=aphi(m) mod m,然后用反证法)

性质3:r 是整数a模m的阶当且仅当满足:1)ar=1 mod m   2) a r/p(r) ≠ 1 mod m (后面推前面也用反正法)。

元根:

如果对于一个模数m,存在一个数a,满足a在模m下的阶是phi(m),那么就称a是模数m的一个元根。

性质:所有质数有元根(更一般的,2,4,pe,2pe有元根,p是奇质数)

元根应用

元根依靠离散对数,将对数运算引入了模数的缩系下。从而可以解决很多数论中关于指数的问题。

indga=indgb mod phi(m) <=> a=b mod m

indgak=k indga mod phi(m)

indgab=indga+indgb mod phi(m)

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std; typedef long long dnt; const int mod = ;
const int elen = ;
struct Hash {
int head[mod], val[elen], rat[elen], next[elen], etot;
void init() {
memset( head, , sizeof(head) );
etot = ;
}
void insert( int v, int r ) {
int k = v % mod;
etot++;
next[etot] = head[k];
rat[etot] = r;
val[etot] = v;
head[k] = etot;
}
int query( int v ) {
int k = v % mod;
for( int t=head[k]; t; t=next[t] )
if( val[t]==v ) return rat[t];
return -;
}
}hash; int p, a, k;
int g, b;
vector<int> stk; dnt mpow( dnt a, int b, int m ) {
dnt rt;
for( rt=; b; b>>=,a=(a*a)%m )
if( b& ) rt=(rt*a)%m;
return rt;
}
void exgcd( int a, int b, int &d, dnt &x, dnt &y ) {
if( b== ) d=a, x=, y=;
else {
exgcd( b, a%b, d, y, x );
y-=a/b*x;
}
}
int gcd( int a, int b ) {
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int findroot( int n ) { // n is prime
if( n== ) return ; vector<int> pfac;
int maxi = (int)ceil(sqrt(n-));
int remain=n-;
for( int i=; i<=maxi; i++ ) {
if( remain%i== ) {
pfac.push_back(i);
while( remain%i== )
remain/=i;
}
}
if( remain!= ) pfac.push_back( remain );
for( int i=; ; i++ ) {
bool ok = true;
for( int t=; t<pfac.size(); t++ )
if( mpow(i,(n-)/pfac[t],n)== ) {
ok = false;
break;
}
if( ok ) return i;
}
}
dnt inv( int a, int n ) {
return mpow(a,n-,n);
}
dnt ind( int g, int b, int n ) { // n is prime, g is root, return v in [0,n-1]
hash.init();
int m = (int)ceil(sqrt(n-));
dnt s = ;
for( int i=; i<m; i++ ) {
if( s==b ) return i;
hash.insert( s, i );
s = (s*g) % n;
}
int am = s;
s = b;
for( int i=m,j; i<n; i+=m ) {
s = (s*inv(am,n)) % n;
if( (j=hash.query(s))!=- )
return i+j;
}
return -; // impossible
}
void meq( int a, int b, int m ) {
stk.clear();
int d = gcd(a,m);
if( b%d ) return;
int aa=a/d, bb=b/d, mm=m/d, dd;
dnt x0, y0;
exgcd( aa, mm, dd, x0, y0 );
x0 = (x0%mm+mm)%mm;
for( dnt k=; k<d; k++ )
stk.push_back( (x0*bb+k*mm)%m );
} int main() {
scanf( "%d%d%d", &p, &k, &a ); // x^k = a mod p
if( a== ) {
printf( "1\n0 \n" );
return ;
}
// find the root of p: g
g = findroot(p);
// ind a: b
b = ind( g, a, p );
// kx=b mod phi(p)
meq( k, b, p- );
// decode
for( int t=; t<stk.size(); t++ )
stk[t] = mpow( g, stk[t], p );
sort( stk.begin(), stk.end() );
// output
printf( "%d\n", stk.size() );
for( int t=; t<stk.size(); t++ )
printf( "%d ", stk[t] );
printf( "\n" );
}

sgu 261的更多相关文章

  1. SGU 261. Discrete Roots (N次剩余)

    N次剩余 题目:http://acm.sgu.ru/problem.php? contest=0&problem=261 题意:给定n,a,p 求出x^n ≡ a(mod p)在模p意义下的全 ...

  2. SGU 261. Discrete Roots

    给定\(p, k, A\),满足\(k, p\)是质数,求 \[x^k \equiv A \mod p\] 不会... upd:3:29 两边取指标,是求 \[k\text{ind}_x\equiv ...

  3. 一些数论概念与算法——从SGU261谈起

    话说好久没来博客上面写过东西了,之前集训过于辛苦了,但有很大的收获,我觉得有必要把它们拿出来总结分享.之前一直是个数论渣(小学初中没好好念过竞赛的缘故吧),经过一道题目对一些基础算法有了比较深刻的理解 ...

  4. java.lang.IllegalArgumentException: Illegal character in query at index 261

    在BaseFragment中使用了LoadingPage,而LoadingPage的联网加载使用的是AsyncHttpClient.一直报java.lang.IllegalArgumentExcept ...

  5. Codeforces #261 D

    Codeforces #261 D D. Pashmak and Parmida's problem time limit per test 3 seconds memory limit per te ...

  6. SGU 495. Kids and Prizes

    水概率....SGU里难得的水题.... 495. Kids and Prizes Time limit per test: 0.5 second(s)Memory limit: 262144 kil ...

  7. ACM: SGU 101 Domino- 欧拉回路-并查集

    sgu 101 - Domino Time Limit:250MS     Memory Limit:4096KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Desc ...

  8. 【SGU】495. Kids and Prizes

    http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=495 题意:N个箱子M个人,初始N个箱子都有一个礼物,M个人依次等概率取一个箱子,如果有礼物则 ...

  9. SGU 455 Sequence analysis(Cycle detection,floyd判圈算法)

    题目链接:http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=455 Due to the slow 'mod' and 'div' operati ...

随机推荐

  1. Hibernate5笔记7--Hibernate缓存机制

    Hibernate缓存机制: 缓存范围: 应用程序中根据缓存的范围,可以将缓存分为三类:   (1)事务范围缓存(单Session,即一级缓存) 事务范围的缓存只能被当前事务访问,每个事务都有各自的缓 ...

  2. JDK 6和JDK 7的intern方法之不同

    首先介绍下intern方法: 如果常量池中存在当前字符串, 就会直接返回当前字符串. 如果常量池中没有此字符串, 会将此字符串放入常量池中后, 再返回. 1 2 在<深入理解Java虚拟机> ...

  3. Awk基础

    Awk文本处理 awk是一种编程语言,用于在linux/unix下对文本和数据进行处理.awk数据可以来自标准输入.一个或多个文件,或其它命令的输出.awk通常是配合脚本进行使用, 是一个强大的文本处 ...

  4. C# TimeSpan获取 年月

    public static string GetYearMonthDayString(this DateTime expires) { try { var now = DateTime.Now; Ti ...

  5. win、mac系统配置本地电脑ip为域名教程

    win系统: 如何修改hosts文件 主机文件原内容如下: #Copyright(c)1993-2009 Microsoft Corp. # #这是Windows的Microsoft TCP / IP ...

  6. python基础--shutil模块

    shutil模块提供了大量的文件的高级操作. 特别针对文件拷贝和删除,主要功能为目录和文件操作以及压缩操作.对单个文件的操作也可参见os模块. 注意 即便是更高级别的文件复制函数(shutil.cop ...

  7. tf.nn.embedding_lookup函数

    tf.nn.embedding_lookup(params, ids, partition_strategy='mod', name=None, validate_indices=True, max_ ...

  8. spark和hadoop比较

    来源知乎 计算模型:hadoop-MapReduce,Spark-DAG(有向无环图)评注:经常有人说Spark就是内存版的MapReduce,实际上不是的.Spark使用的DAG计算模型可以有效的减 ...

  9. phpStudy配置https

    phpStudy配置https 1.打开vhosts-conf配置文件 2.在配置文件中增加如下内容 server { listen 443; server_name tam.gogugong.com ...

  10. java 多线程总结篇2之——Thread类及常用函数

    此片文章主要总结的是Thread类及相关的基础概念和API,首先需要厘清线程调度中的几个基本概念: 一.线程调度的基本方法 1.调整线程优先级:Java线程有优先级,优先级高的线程会获得较多的运行机会 ...