【bzoj题解】2186 莎拉公主的困惑

题目传送门。

题意：求\([1,n!]\)中与\(m!\)互质的数的个数，对质数\(R\)取模，\(n\geq m\)。

答案应该等于\(\frac{n!}{m!}\phi(m!)=\frac{n!}{m!}m!\prod_{p|m!}\frac{p-1}{p}=n!\frac{\prod_{p\leq m}\,p-1}{\prod_{p\leq m}\,p}\)。

这里\(p\)为小于等于\(m\)的质数。

所以我们处理出阶乘，以及质数的乘积和对\(R\)的逆元就能得出答案。

你真的这么想？

naive！simple！

如果\(n\geq R\)，答案一定为\(0\)吗？

可以看看这组数据：

答案为\(2\)，因为\(8\,mod\,3=2\)。

但是\(4!\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}\)呢？\(4!=24\)，而\(24\,mod\,3=0\)，但是答案非\(0\)。

正确的做法是什么？

当\(n\geq R\)时，如果\(m\geq R\)的话，\(n!\)中的因子\(R\)就有可能被分母消掉，我们应该要对\(n\geq R\)的\(n!\)消掉一个\(R\)，对\(m\geq R\)的分母也消掉一个\(R\)。

这样就不会有问题了。

代码如下：

 #include<cstdio>
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 int T,Mod,n,m;
 int primes[], pnum=;
 bool isn_prime[];
 int pi[],inv[];
 int in[],fct[];
 int pos[];
 void init(){
     isn_prime[]=isn_prime[]=;
     F(i,,){
         if(!isn_prime[i]) primes[++pnum]=i;
         for(int j=;j<=pnum&&primes[j]*i<=;++j){
             isn_prime[primes[j]*i]=;
             if(i%primes[j]==) break;
         }
     }
     inv[]=; for(int i=;i<Mod&&i<=;++i)
         inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
     pi[]=; F(i,,pnum) pi[i]=1ll*pi[i-]*(primes[i]-)%Mod;
     in[]=; F(i,,pnum) if(primes[i]!=Mod) in[i]=1ll*in[i-]*inv[primes[i]%Mod]%Mod; else in[i]=in[i-];
     fct[]=; F(i,,) if(i!=Mod) fct[i]=1ll*fct[i-]*i%Mod; else fct[i]=fct[i-];
     F(i,,) if(isn_prime[i]) pos[i]=pos[i-]; else pos[i]=pos[i-]+;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&T,&Mod);
     init();
     while(T--){
         scanf("%d%d",&n,&m);
         if(n>=Mod&&m<Mod) puts("");
         else printf("%d\n",1ll*fct[n]*pi[pos[m]]%Mod*in[pos[m]]%Mod);
     }
     return ;
 }