HDUOJ-------- Fibonacci again and again

Fibonacci again and again

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Problem Description

任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生，它是这样定义的： F(1)=1; F(2)=2; F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3); 所以，1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。 在HDOJ上有不少相关的题目，比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。 今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下： 1、  这是一个二人游戏; 2、  一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个； 3、  两人轮流走; 4、  每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个； 5、  f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）； 6、  最先取光所有石子的人为胜者；
假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

 

Input

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含3个整数m,n,p（1<=m,n,p<=1000）。 m=n=p=0则表示输入结束。

 

Output

如果先手的人能赢，请输出“Fibo”，否则请输出“Nacci”，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

1 1 1 1 4 1 0 0 0

 

Sample Output

Fibo Nacci

 

Author

lcy

 

Source

ACM Short Term Exam_2007/12/13

代码：

 SG函数（模板）

 //f[]：可以取走的石子个数
 //sg[]:0~n的SG函数值
 //hash[]:mex{}
 int f[N],sg[N],hash[N];
 void getSG(int n)
 {
     int i,j;
     memset(sg,,sizeof(sg));
     for(i=;i<=n;i++)
     {
         memset(hash,,sizeof(hash));
         for(j=;f[j]<=i;j++)
             hash[sg[i-f[j]]]=;
         for(j=;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
         {
             if(hash[j]==)
             {
                 sg[i]=j;
                 break;
             }
         }
     }
 }

模板二，采用的是广搜：

 模板二：
 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
 int s[],sg[],n;
 int SG_dfs(int x)
 {
     int i;
     if(sg[x]!=-)
         return sg[x];
     bool vis[];
     memset(vis,,sizeof(vis));
     for(i=;i<n;i++)
     {
         if(x>=s[i])
         {
             SG_dfs(x-s[i]);
             vis[sg[x-s[i]]]=;
         }
     }
     int e;
     for(i=;;i++)
         if(!vis[i])
         {
             e=i;
             break;
         }
     return sg[x]=e;
 }

相关知识:

SG函数模板

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

此题的代码：

是SG的尼姆博弈,算得上是组合博弈吧！

代码：

 #include<iostream>
 using namespace std;
 int f[]={,},hash[];
 int sg[];
 void Getfabo( void )
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         f[i]=f[i-]+f[i-];
         if(f[i]>)
             break;
     }
 }
 void Getsg( void )
  {
      int i,j;
      Getfabo();
      memset(sg,,sizeof sg);
      for(i=;i<=;i++)
      {
       memset(hash,,sizeof hash);
      for( j=; f[j]<=i;j++)
          hash[sg[i-f[j]]]=;
      for( j=; j<=;j++)
          if(hash[j]==)
          {
              sg[i]=j;
              break;
          }
      }
  }
 int main()
 {

     int a,b,c;
     Getsg();
     while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a+b+c)
       printf((sg[a]^sg[b]^sg[c])!=?"Fibo\n":"Nacci\n");
     return ;
 }