Luogu4491 [HAOI2018]染色 【容斥原理】【NTT】

题目分析：

一开始以为是直接用指数型生成函数，后来发现复杂度不对，想了一下容斥的方法。

对于有$i$种颜色恰好出现$s$次的情况，利用容斥原理得到方案数为

$$\binom{m}{i}\frac{P_{is}^{n}}{(s!)^i}(\sum_{j=0}^{m-i}(-1)^j\binom{m-i}{j}\frac{P_{js}^{n-is}}{(s!)^j}(m-i-j)^{n-is-js})$$

值得注意的是$n-is-js<0$的时候，后面的式子直接等于$0$，特判一下就行了。

那么答案就等于

$$\sum_{i=0}^{m}w_i\binom{m}{i}\frac{P_{is}^{n}}{(s!)^i}(\sum_{j=0}^{m-i}(-1)^j\binom{m-i}{j}\frac{P_{js}^{n-is}}{(s!)^j}(m-i-j)^{n-is-js})$$

式子看着很长，但其实没啥味道，把组合数和排列数展开，常数项提出来，约分，可以得到上面的式子等价于

$$(n!)*(m!)*\sum_{i=0}^{m}\frac{w_i}{(i!)(s!)^i}(\sum_{j=0}^{m-i}\frac{(-1)^j(m-i-j)^{n-is-js}}{(m-i-j)!j!(n-is-js)!(s!)^j})$$

对于后面的那个求和，使用肉眼观察法，会发现是个关于$j$和$m-i-j$的卷积。因为$m-i-j$的值确定了就意味着$n-is-js$的值也确定了。所以NTT搞出来

时间复杂度$O(nlogn)$

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn = ;
 const int mod = ;
 const int gg = ;

 int n,m,s;
 int w[maxn];

 int fac[],A[maxn*],B[maxn*];

 int fast_pow(int now,int pw){
     int ans = ,dt = now,bit = ;
     while(bit <= pw){
     if(bit &pw){ans = 1ll*ans*dt%mod;}
     dt = 1ll*dt*dt%mod; bit<<=;
     }
     return ans;
 }

 void buildfunc(){
     fac[] = ;
     for(int i=;i<=max(n,m);i++) fac[i] = 1ll*fac[i-]*i%mod;
     for(int i=;i<=m;i++){
     A[i] = 1ll*fast_pow(fac[s],i)*fac[i]%mod;
     A[i] = fast_pow(A[i],mod-);
     if(i&) A[i] = 1ll*(mod-)*A[i]%mod;
     }
     for(int i=;i<=m;i++){
     int z = m-i;
     if(n-z*s < ) {B[i] = ;continue;}
     int rem = n-z*s;
     B[i] = 1ll*fac[i]*fac[rem]%mod;
     B[i] = fast_pow(B[i],mod-);
     B[i] = 1ll*B[i]*fast_pow(i,rem)%mod;
     }
 }

 int ord[maxn*];

 void NTT(int *d,int len,int dr){
     for(int i=;i<len;i++) if(ord[i] < i) swap(d[i],d[ord[i]]);
     for(int i=;i<len;i<<=){
     int w = fast_pow(gg,(mod-)/(*i));
     if(dr == -) w = fast_pow(w,mod-);
     for(int j=;j<len;j+=(i<<)){
         for(int k=,wn=;k<i;k++,wn = 1ll*wn*w%mod){
         int x = d[j+k],y = 1ll*wn*d[j+k+i]%mod;
         d[j+k] = (x+y)%mod;
         d[j+k+i] = (x-y+mod)%mod;
         }
     }
     }
     if(dr == -){
     int iv = fast_pow(len,mod-);
     for(int i=;i<len;i++){d[i] = 1ll*d[i]*iv%mod;}
     }
 }

 void work(){
     buildfunc();
     /*int reans = 0;
     for(int i=0;i<=m;i++){
     int z = 1ll*w[i]*fast_pow(1ll*fac[i]*fast_pow(fac[s],i)%mod,mod-2)%mod;
     int np = 0,kp = 0;
     for(int j=0;j<m-i;j++){
         if(n-i*s-j*s < 0) continue;
         int mp = 0;
         mp = 1ll*fac[m-i-j]*fac[j]%mod*fac[n-i*s-j*s]%mod*fast_pow(fac[s],j)%mod;
         mp = 1ll*fast_pow(mp,mod-2)*fast_pow(m-i-j,n-i*s-j*s)%mod;
         if(j & 1) mp = 1ll*(mod-1)*mp%mod;
         kp += 1ll*A[j]*B[m-i-j]%mod;
         kp %= mod;
         np += mp;
         np %= mod;
     }
     reans += 1ll*z*np%mod;
     reans %= mod;
     }
     reans = 1ll*reans*fac[n]%mod*fac[m]%mod;
     printf("%d\n",reans);return;*/

     int hk = ,pi = ; while(hk <= m+m) hk*=,pi++;
     for(int i=;i<hk;i++) ord[i] = (ord[i>>]>>) + ((i&)<<(pi-));
     NTT(A,hk,); NTT(B,hk,);
     for(int i=;i<hk;i++) A[i] = 1ll*A[i]*B[i]%mod;
     NTT(A,hk,-);
     int ans = ;
     for(int i=;i<=m;i++){
     int z = 1ll*fac[m-i]*fast_pow(fac[s],m-i)%mod;
     z = 1ll*fast_pow(z,mod-)*w[m-i]%mod;
     ans += 1ll*z*A[i]%mod;
     ans %= mod;
     }
     ans = 1ll*ans*fac[n]%mod*fac[m]%mod;
     printf("%d\n",ans);
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
     for(int i=;i<=m;i++) scanf("%d",&w[i]);
     work();
     return ;
 }