loj6271「长乐集训 2017 Day10」生成树求和 加强版

又是一个矩阵树套多项式的好题。

这里我们可以对每一位单独做矩阵树，但是矩阵树求的是边权积的和，而这里我们是要求加法，于是我们i将加法转化为多项式的乘法，其实这里相当于一个生成函数？之后如果我们暴力做的话，就是强行带入x插值，复杂度$O(8*2n*n^{3})$，还不够优秀，于是我们考虑用$dft$优化这个过程，这里我们需要找到一个三次单位根，于是我们考虑扩域的思想，我们把数表示为$(a+b*w_{3})$，这里$w_{3}$满足$w_{3}^{3}=1$且$w_{3}^{1}+w_{3}^{2}+w_{3}^{3}=0$，于是我们可以计算出这类数的计算法则，然后我们直接将矩阵dft之后做一遍矩阵树，之后再将答案逆变换回去，就是我们需要的答案了。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #define N 111
 #define mod 1000000007
 #define inv3 333333336
 using namespace std;
 int qp(int a,int b){
     int c=;
     for(;b;b>>=,a=1ll*a*a%mod)
         if(b&)c=1ll*c*a%mod;
     return c;
 }
 struct num{
     int a,b;
     num(){}
     num(int x,int y){a=x;b=y;}
     num operator + (num x){return num((a+x.a)%mod,(b+x.b)%mod);}
     num operator - (num x){return num((a-x.a+mod)%mod,(b-x.b+mod)%mod);}
     num operator * (num x){
         return num(
             ((1ll*a*x.a-1ll*b*x.b)%mod+mod)%mod,
             ((1ll*a*x.b+1ll*b*x.a-1ll*b*x.b)%mod+mod)%mod);
         }
     num inv(){
         int val=qp(((1ll*a*b-1ll*a*a-1ll*b*b)%mod+mod)%mod,mod-);
         return num(1ll*(b-a+mod)*val%mod,1ll*b*val%mod);
     }
     bool operator ! (){return !a&&!b;}
 }A[N][N][],w[],det[];
 int n,m,ans,du[N*N],dv[N*N],dw[N*N];
 int cnt;
 void work(){
     num t;
     for(int d=;d<=;d++){
         det[d]=num(,);
         for(int k=;k<n;k++){
             if(!A[k][k][d]){
                 for(int i=k+;i<=n;i++){
                     if(!(!A[i][k][d])){
                         det[d]=num(,)-det[d];
                         for(int j=k;j<=n;j++)swap(A[k][j][d],A[i][j][d]);
                         break;
                     }
                 }
                 if(!A[k][k][d]){det[d]=num(,);break;}
             }
             det[d]=det[d]*A[k][k][d];
             for(int i=k+;i<n;i++){
                 t=A[i][k][d]*A[k][k][d].inv();
                 for(int j=k;j<=n;j++)
                     A[i][j][d]=A[i][j][d]-t*A[k][j][d];
             }
         }
     }
 }
 void dft(num *a){
     num b[];
     b[]=a[]+a[]+a[];
     b[]=a[]+a[]*w[]+a[]*w[];
     b[]=a[]+a[]*w[]+a[]*w[];
     a[]=b[];a[]=b[];a[]=b[];
 }
 void add(int u,int v,int w){
     A[u][u][w]=A[u][u][w]+num(,);
     A[v][v][w]=A[v][v][w]+num(,);
     A[u][v][w]=A[u][v][w]-num(,);
     A[v][u][w]=A[v][u][w]-num(,);
 }
 void UPD(int &a,int b){
     a=(a+b>=mod)?(a+b-mod):(a+b);
 }
 int main(){
 freopen("sum.in","r",stdin);
 freopen("sum.out","w",stdout);
     w[]=num(,);w[]=num(,);
     w[]=num(mod-,mod-);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=m;i++)
         scanf("%d%d%d",&du[i],&dv[i],&dw[i]);
     for(int t=,now=;t<=;t++,now=now*){
         memset(A,,sizeof A);
         for(int i=;i<=m;i++){
             add(du[i],dv[i],dw[i]%);
             dw[i]/=;
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
             for(int j=;j<=n;j++)
                 dft(A[i][j]);
         cnt=t;
         work();
         swap(w[],w[]);
         dft(det);
         swap(w[],w[]);
         UPD(ans,1ll*det[].a*inv3%mod*now%mod);
         UPD(ans,1ll*det[].a*inv3%mod**now%mod);
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }