【PowerOJ1741&网络流24题】最长递增子序列问题（最大流）

题意：

思路：

【问题分析】

第一问时LIS，动态规划求解，第二问和第三问用网络最大流解决。

【建模方法】

首先动态规划求出F[i]，表示以第i位为开头的最长上升序列的长度，求出最长上升序列长度K。

1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>，从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。

2、建立附加源S和汇T，如果序列第i位有F[i]=K，从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。

3、如果F[i]=1，从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。

4、如果j>i且A[i] < A[j]且F[j]+1=F[i]，从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。

求网络最大流，就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大，再求一次网络最大流，就是第三问结果。

【建模分析】

上述建模方法是应用了一种分层图的思想，把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层，这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。由于序列中每个点要不可重复地取出，

需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数，所以最大流量就是第二问结果。第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用，只需取消这两个点相关边的流量限制，求网络最大流即可。

实质上也只有两层，不如叫裂点

单位网络的最大流就是增广路的条数 这个性质需要记住

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned int uint;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef long double ld;
 typedef pair<int,int> PII;
 typedef pair<ll,ll> Pll;
 typedef vector<int> VI;
 typedef vector<PII> VII;
 typedef pair<ll,ll>P;
 #define N  100010
 #define M  1000000
 #define INF 1e9
 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define pb push_back
 #define pi acos(-1)
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
 #define lowbit(x) x&(-x)
 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
 #define ls p<<1
 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;
       double eps=1e-;
       int dx[]={-,,,};
       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[N],len[N],nxt[N],dp[N],a[N],dis[N],num[N][],s,S,T,K,n,tot;

 int read()
 {
    int v=,f=;
    char c=getchar();
    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
    return v*f;
 }

 void add(int a,int b,int c)
 {
     nxt[++tot]=head[a];
     vet[tot]=b;
     len[tot]=c;
     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];
     vet[tot]=a;
     len[tot]=;
     head[b]=tot;
 }

 bool bfs()
 {
     queue<int>q;
     rep(i,,s) dis[i]=-;
     q.push(S),dis[S]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();
         q.pop();
         int e=head[u];
         while(e)
         {
             int v=vet[e];
             if(len[e]&&dis[v]==-)
             {
                 dis[v]=dis[u]+;
                 q.push(v);
             }
             e=nxt[e];
         }
     }
     return dis[T]!=-;
 }

 int dfs(int u,int aug)
 {
     if(u==T) return aug;
     int e=head[u],val=,flow=;
     while(e)
     {
         int v=vet[e];
         if(len[e]&&dis[v]==dis[u]+)
         {
             int t=dfs(v,min(len[e],aug));
             if(!t)
             {
                 e=nxt[e];
                 continue;
             }
             flow+=t;
             aug-=t;
             len[e]-=t;
             len[e^]+=t;
             if(!aug) break;
         }
         e=nxt[e];
     }
     if(!flow) dis[u]=-;
     return flow;
 }

 int maxflow()
 {
     int res=;
     while(bfs()) res+=dfs(S,INF);
     return res;
 }

 void solve1()
 {
     s=;
     rep(i,,n)
      rep(j,,) num[i][j]=++s;
     S=++s;
     T=++s;
     rep(i,,s) head[i]=;
     tot=;
     rep(i,,n) add(num[i][],num[i][],);
     rep(i,,n)
      if(dp[i]==) add(S,num[i][],);
     rep(i,,n)
      if(dp[i]==K) add(num[i][],T,);
     rep(i,,n)
      rep(j,i+,n)
       if(a[j]>a[i]&&dp[j]==dp[i]+) add(num[i][],num[j][],);
     int ans=maxflow();
     printf("%d\n",ans);
 }

 void solve2()
 {
     rep(i,,s) head[i]=;
     tot=;
     add(num[][],num[][],INF);
     add(num[n][],num[n][],INF);
     rep(i,,n-) add(num[i][],num[i][],);
     rep(i,,n)
      if(dp[i]==)
      {
          if(i==||i==n) add(S,num[i][],INF);
           else add(S,num[i][],);
      }

     rep(i,,n)
      if(dp[i]==K)
      {
          if(i==||i==n) add(num[i][],T,INF);
           else add(num[i][],T,);
      }

     rep(i,,n)
      rep(j,i+,n)
       if(a[j]>a[i]&&dp[j]==dp[i]+) add(num[i][],num[j][],);
     int ans=maxflow();
     if(ans>INF) ans=n;
     printf("%d\n",ans);
 }

 int main()
 {
     //freopen("1.in","r",stdin);
     n=read();
     rep(i,,n) a[i]=read();
     rep(i,,n)
     {
         dp[i]=;
         rep(j,,i-)
          if(a[j]<a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+);
     }
     K=;
     rep(i,,n) K=max(K,dp[i]);
     printf("%d\n",K);
     solve1();
     solve2();
     return ;
 }