bzoj4244 & loj2878. 「JOISC 2014 Day2」邮戳拉力赛 括号序列+背包

题目传送门

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4244

https://loj.ac/problem/2878

题解

挺妙的一道题。

一开始一直往最短路上面想，然后怎么想发现都没有用。

然后就又开始自闭了。最后又去拜读题解了。（今天怎么读了两次题解啊，没救了没救了

一条合法的路线一定是从 \(0\) 到 \(n + 1\) 的链上套了无数个环。每一个邮戳台至少被一个环经过。

经过邮戳台的方式有 \(4\) 类：

1. 上行 -> 邮戳台 -> 下行，费用为 \(u+e\)
2. 下行 -> 邮戳台 -> 上行，费用为 \(d+v\)
3. 上行 -> 邮戳台 -> 上行，费用为 \(u+v\)
4. 下行 -> 邮戳台 -> 下行，费用为 \(d+e\)

其中第一类和第二类可以互相之间构成大环（跨越了两个邮戳台为大环）。

对于一个环，可以发现从路程上，第一类一定出现在第二类的前面。但是，从位置上，第二类一定出现在第一类的前面。于是，我们令 \((\) 表示第二类环，\()\) 表示第一类环。于是合法的路径是一个合法的括号序列。另外，对于第 \(4\) 类，因为是从下行台来的，所以之前必须有一个 \((\)。

然后，令 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个位置，有 \(j\) 个不匹配的 \((\) 的最优解。直接转移就可以了。

注意第一二种情况可以多次使用，所以是一个完全背包。

最后加上从 \(0\) 到 \(n + 1\) 的链的长度。

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代码如下，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

const int N = 3000 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, t;
int u[N], v[N], d[N], e[N];
int dp[N][N];

inline void work() {
	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)), dp[0][0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		const int &u = ::u[i], &v = ::v[i], &d = ::d[i], &e = ::e[i];
		for (int j = 0; j < n; ++j) smin(dp[i][j], dp[i - 1][j + 1] + u + e);
		for (int j = 0; j <= n; ++j) smin(dp[i][j], dp[i - 1][j] + u + v);
		for (int j = 1; j <= n; ++j) smin(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + v + d);
		for (int j = 1; j <= n; ++j) smin(dp[i][j], dp[i - 1][j] + d + e);
		for (int j = 1; j <= n; ++j) smin(dp[i][j], dp[i][j - 1] + v + d);
		for (int j = n - 1; ~j; --j) smin(dp[i][j], dp[i][j + 1] + u + e);
		for (int j = 0; j <= n; ++j) if (dp[i][j] != INF) dp[i][j] += t * j * 2;
	}
	printf("%d\n", dp[n][0] + (n + 1) * t);
}

inline void init() {
	read(n), read(t);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(u[i]), read(v[i]), read(d[i]), read(e[i]);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}