qbzt day3 上午

内容提要

堆

lca（最近公共祖先）

st表

hash

并查集

树状数组

线段树

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数据结构

1.堆

Priority_queue

他滋兹：插入删除查询最大值（最小值）

分为大根堆小根堆

2.LCA

首先我们有一棵树，定义某个点的祖先为这个点到根节点的路径上的所有点

我们现在有两个点A，B，我们发现A和B有一些公共的祖先

我们只需要找到最近的公共祖先LCA，就可以找到它们所有的公共祖先

LCA一定是最深的公共祖先

步骤：

1. 如果A的深度小于B的深度，就把它们互换（为了处理方便）
2. 把A向上调到和B同样的深度，直到A和B同一个深度
3. A和B一起上调，直到A和B相同

复杂度 O(deep)，如果树是一条链就炸了

我们考虑优化

令P[x][i]表示x的第2^i的祖先是哪个节点

显然P[x][i]=p[[x][i-1]][i-1]

优化：把A向上调到和B同样的深度

我们发现A和B之间有深度差

比如d[A]-d[B]=19     对19进行二进制分解   10011

A->P[A][4]  16

A->P[A][1]   2

A->P[A][0]   1

优化：A和B一起上调

我们发现A和B的祖先一直都不相同，直到某个点之后一直相同

这个点不好确定，所以我们可以确定最后的祖先不相同的地方

也就是说，i从大往小循环，如果P[A][i]!=P[B][i]，就把A和B同时向上跳2^i

LCA应用：常用来处理树上可差分的信息

比如我们要求点A到点B的路径长度，我们只需要求出LCA(A,B)就好了

ST表

定义mx[i][j]为i~i+2^j-1的最大值

如果我们要求[L,R]区间的最大值

比如[19,46]

先求L=46-19+1=28

求log2 L下取整

然后把区间分成两半求就可以了

则Ans=max(mx[19][4],mx[31][4])

HASH

HASH是一种函数，平常说的hash是把一个字符串变成一个数。F(字符串)=int

Map是基于比较函数的红黑树

如果你在map中放一个字符串，两个字符串的比较就是O(len(s))的，贼慢

所以我们需要开发一种新的东西

假如我们用a表示1，b表示0

ababb 就可以用类似于二进制的方式来算出它的值

Hash是允许冲突的，但是我们要尽可能避免冲突，而不是根治冲突

Jzm1926 p=83（p比字符串集大并且是个质数）

==’6’*p^0+’2’*p^1+....

但是由于有可能会很大，所以我们要%一个质数

如果为了方便，可以直接开unsigned long long 因为2^64-1恰好是一个质数(滑稽

这样自然溢出就省去了取模操作

为了避免冲突，我们可以考虑取两个模数

但是我们目前无法求子串的hash值

我们希望设计一种算法，至少能满足字符串拼接删除

现在有dingmingshuo这个字符串和一个p

d     d

di    d*p^1+i

din   d*p^2+i*p^1+n

ding  d*p^3+i*p^2+n*p^1+g

我们要求ing的hash就是ding的hash-d的hash乘p^3

ng的hash就是ding的hash-di的hash乘p^2

令h[i]表示1~i的hash值

h[i]=h[i-1]*p+s[i]

hash[i][j]=(h[j]-h[i])*p^(j-i+1)

并查集

并查集是一个集合，可以查询节点是否在一个集合中

令fa[i]表示x在它所在的树上的父亲，特殊的，根节点的父亲是他自己

我们要查询a和b是否在一个集合中，只需要不停令他们等于他们的父亲，直到根节点，然后看看根节点是否相等就好了

如果要把两个集合合并，我们要先找到这两个集合的根，然后令一个的父亲等于另一个

路径压缩：

我们发现并查集这个东西完全没有必要保留树的结构，所以我们可以让这个集合里面的点的父亲直接指向它的代表源

int father(int x)

{

    return fa[x]==x? x: fa[x]=father(fa[x]);

}

树状数组：支持单点修改，前缀查询

主要应用：线段树常数过大时，线段树功能过多时

注意查询是-lowbit，修改是+lowbit

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void modify(int x,int y){
    // add y to a[x]
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}

int query(int x){
    // sum of a[1]...a[x]
    int ret=;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ret+=c[i];
    return ret;
}

int query(int l,int r){
    return query(r)-query(l-);
}

树状数组所求的所有问题必须存在逆元

线段树

支持区间修改，区间查询

主要应用：一类区间修改区间查询的问题

结构：

单点修改：

1. 确定点的位置
2. 更新树的权值

区间查询：

任何一段线段都可以被log n 条线段表示出来，然后把区间上的信息进行处理就好了

区间修改：

我们搞一个懒标记，每一次对一个完整的区间节点修改的时候就打上懒标记，然后把懒标记下放

下放懒标记：

首先，如果没有懒标记就不需要下放

然后，把他的两个儿子的懒标记加上父亲的懒标记，在对应的对sum进行修改

最后，把他的父亲的懒标记删掉

什么时候下放懒标记？

什么时候碰到这个节点就下放

例题：

中位数

维护两个堆，大根堆和小根堆，大根堆n/2+1个元素，小根堆n/2个元素，每次加入两个元素到大根堆里，然后把大根堆的堆顶给到小根堆，这样大根堆的堆顶就是中位数

树的重构

对每一个点算出一个hash，如果两个集合完全相同，就是重构的

怎么求树的hash？

对一个节点的hash排序，然后搞一搞

对于一棵无根树，他的重心（所有子树中最大的子树节点数最少）个数不为2

或者枚举每个重心

括号序列，每个封闭的括号代表一个节点。如何把树转换成括号序列？

递归处理，把点的所有子树的括号序列按照字典序排序，括号序列字典序最小的就再加一个括号