【NOIP2013模拟】DY引擎

题目

BOSS送给小唐一辆车。小唐开着这辆车从PKU出发去ZJU上课了。

众所周知，天朝公路的收费站超多的。经过观察地图，小唐发现从PKU出发到ZJU的所有路径只会有N（2<=N<=300）个不同的中转点，其中有M（max(0, N-100) <=M<=N）个点是天朝的收费站。N个中转点标号为1…N，其中1代表PKU，N代表ZJU。中转点之间总共有E（E<=50,000）条双向边连接。

每个点还有一个附加属性，用0/1标记，0代表普通中转点，1代表收费站。当然，天朝的地图上面是不会直接告诉你第i个点是普通中转点还是收费站的。地图上有P（1<=P<=3,000）个提示，用[u, v, t]表示：[u, v]区间的所有中转点中，至少有t个收费站。数据保证由所有标记得到的每个点的属性是唯一的。

车既然是BOSS送的，自然非比寻常了。车子使用了世界上最先进的DaxiaYayamao引擎，简称DY引擎。DY引擎可以让车子从U瞬间转移到V，只要U和V的距离不超过L（1<=L<=1,000,000），并且U和V之间不能有收费站（小唐良民一枚，所以要是经过收费站就会停下来交完钱再走）。

DY引擎果然是好东西，但是可惜引擎最多只能用K（0<=K<=30）次。

分析

这道题的难点主要在求出哪个点有收费站。

可以把题目分成两部分：

求出哪个点有收费站

这部分用到个很神奇的东西，差分约束系统。

设\(s_{i}\)表示在中转点1~i有多少个收费站，

那么对于每个提示[u，v，t]，

\(s_{v}-s_{u-1}>=c\)，移项得\(s_{u-1}-s_{v}<=-c\)。

但这不足以求出所有的\(s\)值，那么注意隐藏条件：

\(s_{i}-s_{i-1}>=0\)，移项得\(s_{i-1}-s_{i}<=0\)

\(s_{i}-s_{i-1}<=1\)

接着对于一条式子“a-b<=c”，给b向a连一条权值为c的有向边，搞一遍spfa就可以了（其中\(s_{n}=m\)，显然嘛）

求最短路

先把原图分为k+1层，

搞一遍floyd，求出可以瞬移的路径，

每一层连一条可以瞬移的路径到下一层。

spfa完美收场。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=21474836470000;
using namespace std;
long long next[2000000],last[2000000],to[2000000],v[2000000],dis[2000000],d[5000000],f[400][400],re[60000][4];
long long a[400][400];
long long n,m,ans,k,l,e,tot;
bool bz[2000000];
long long bj(long long x,long long y,long long z)
{
	next[++tot]=last[x];
	last[x]=tot;
	to[tot]=y;
	v[tot]=z;
}
long long spfa(long long x,long long y)
{
	memset(bz,true,sizeof(bz));
	memset(dis,60,sizeof(dis));
	long long head=0,tail=1,g;
	dis[x]=y;
	d[1]=x;
	while(head<tail)
	{
		g=d[++head];
		bz[g]=true;
		for(long long i=last[g];i;i=next[i])
		{
			long long j=to[i];
			if(dis[j]>dis[g]+v[i])
			{
				dis[j]=dis[g]+v[i];
				if(bz[j])
				{
					bz[j]=false;
					d[++tail]=j;
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	//第一部分
	long long o;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&e,&o,&l,&k);
	memset(f,60,sizeof(f));
	for(long long i=1;i<=e;i++)
	{
		long long x,y,z;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
		re[i][1]=x;
		re[i][2]=y;
		re[i][3]=z;
		f[x][y]=min(z,f[x][y]);
		f[y][x]=f[x][y];
	}
	for(long long i=1;i<=o;i++)
	{
		long long x,y,z;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
		bj(y,x-1,-z);
	}
	for(long long i=2;i<=n;i++)
	{
		bj(i,i-1,0);
		bj(i-1,i,1);
	}
	spfa(n,m);
	//第二部分
	memset(last,0,sizeof(last));
	tot=0;
	for(long long i=1;i<=e;i++)
	{
		for(long long p=0;p<=k;p++)
		{
			bj(p*n+re[i][1],p*n+re[i][2],re[i][3]);
			bj(p*n+re[i][2],p*n+re[i][1],re[i][3]);
		}
	}
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		for(long long j=1;j<=n;j++)
		{
			for(long long p=1;p<=n;p++)
				if(i!=j && j!=p && i!=p && dis[p]-dis[p-1]==0 && dis[p]<=m)
				{
					if(f[i][p]+f[p][j]<f[i][j])
						f[i][j]=f[i][p]+f[p][j];
				}

		}
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		for(long long j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j && f[i][j]<=l)
			{
				for(long long p=0;p<=k-1;p++)
				{
					bj(p*n+i,(p+1)*n+j,0);
				}
			}
	spfa(1,0);
	ans=maxlongint;
	for(long long i=0;i<=k;i++)
		ans=min(dis[i*n+n],ans);
	printf("%lld\n",ans);
}