HDU3987 Harry Potter and the Forbidden Forest（边数最少的最小割）

方法1：两遍最大流。一遍最大流后，把满流边容量+1，非满流边改为INF；再求最小割即为答案。

我大概想了下证明：能构成最小割的边在第一次跑最大流时都满流，然后按那样改变边容量再求一次最小割，就相当于再在那些 满流可能是属于最小割的边 中挑出最少的边形成ST割。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define INF (1LL<<60)
 #define MAXN 1111
 #define MAXM 440000

 struct Edge{
     int v,next;
     __int64 cap,flow;
 }edge[MAXM];
 int vs,vt,NE,NV;
 int head[MAXN];

 void addEdge(int u,int v,__int64 cap){
     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=;
     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=; edge[NE].flow=;
     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
 }

 int level[MAXN];
 int gap[MAXN];
 void bfs(){
     memset(level,-,sizeof(level));
     memset(gap,,sizeof(gap));
     level[vt]=;
     gap[level[vt]]++;
     queue<int> que;
     que.push(vt);
     while(!que.empty()){
         int u=que.front(); que.pop();
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(level[v]!=-) continue;
             level[v]=level[u]+;
             gap[level[v]]++;
             que.push(v);
         }
     }
 }

 int pre[MAXN];
 int cur[MAXN];
 __int64 ISAP(){
     bfs();
     memset(pre,-,sizeof(pre));
     memcpy(cur,head,sizeof(head));
     int u=pre[vs]=vs;
     __int64 flow=,aug=INF;
     gap[]=NV;
     while(level[vs]<NV){
         bool flag=false;
         for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+){
                 flag=true;
                 pre[v]=u;
                 u=v;
                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
                 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
                 if(v==vt){
                     flow+=aug;
                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
                         edge[cur[u]].flow+=aug;
                         edge[cur[u]^].flow-=aug;
                     }
                     //aug=-1;
                     aug=INF;
                 }
                 break;
             }
         }
         if(flag) continue;
         int minlevel=NV;
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
                 minlevel=level[v];
                 cur[u]=i;
             }
         }
         if(--gap[level[u]]==) break;
         level[u]=minlevel+;
         gap[level[u]]++;
         u=pre[u];
     }
     return flow;
 }
 int main(){
     int t,n,m,a,b,c,d;
     scanf("%d",&t);
     for(int cse=; cse<=t; ++cse){
         scanf("%d%d",&n,&m);
         vs=; vt=n-; NV=n; NE=;
         memset(head,-,sizeof(head));
         while(m--){
             scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
             if(d){
                 addEdge(a,b,c);
                 addEdge(b,a,c);
             }else{
                 addEdge(a,b,c);
             }
         }
         ISAP();
         for(int i=; i<NE; i+=){
             if(edge[i].flow==edge[i].cap) ++edge[i].cap;
             else edge[i].cap=INF;
         }
         printf("Case %d: %I64d\n",cse,ISAP());
     }
     return ;
 }

方法2：放大边权。把每条边的容量cap改为cap*m+1，m为一个够大的数（总边数+1就够了）。最后跑一遍最大流，最小割为maxflow/m，最少边数为maxflow%m。

我大概想了下证明：原图流量能满的，新图流量肯定也能达到cap*m，因为可以把新图看成是m张原图。而流量达到cap*m的边还剩1这个容量还没用到（流量达不到cap*m自然就用不到这个1容量了），那么就相当于在这些边的基础上再跑一遍最大流，与方法1差不多的道理。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define INF (1LL<<60)
 #define MAXN 1111
 #define MAXM 440000

 struct Edge{
     int v,next;
     __int64 cap,flow;
 }edge[MAXM];
 int vs,vt,NE,NV;
 int head[MAXN];

 void addEdge(int u,int v,__int64 cap){
     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=;
     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=; edge[NE].flow=;
     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
 }

 int level[MAXN];
 int gap[MAXN];
 void bfs(){
     memset(level,-,sizeof(level));
     memset(gap,,sizeof(gap));
     level[vt]=;
     gap[level[vt]]++;
     queue<int> que;
     que.push(vt);
     while(!que.empty()){
         int u=que.front(); que.pop();
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(level[v]!=-) continue;
             level[v]=level[u]+;
             gap[level[v]]++;
             que.push(v);
         }
     }
 }

 int pre[MAXN];
 int cur[MAXN];
 __int64 ISAP(){
     bfs();
     memset(pre,-,sizeof(pre));
     memcpy(cur,head,sizeof(head));
     int u=pre[vs]=vs;
     __int64 flow=,aug=INF;
     gap[]=NV;
     while(level[vs]<NV){
         bool flag=false;
         for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+){
                 flag=true;
                 pre[v]=u;
                 u=v;
                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
                 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
                 if(v==vt){
                     flow+=aug;
                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
                         edge[cur[u]].flow+=aug;
                         edge[cur[u]^].flow-=aug;
                     }
                     //aug=-1;
                     aug=INF;
                 }
                 break;
             }
         }
         if(flag) continue;
         int minlevel=NV;
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
                 minlevel=level[v];
                 cur[u]=i;
             }
         }
         if(--gap[level[u]]==) break;
         level[u]=minlevel+;
         gap[level[u]]++;
         u=pre[u];
     }
     return flow;
 }
 int main(){
     int t,n,m,a,b,c,d;
     scanf("%d",&t);
     for(int cse=; cse<=t; ++cse){
         scanf("%d%d",&n,&m);
         vs=; vt=n-; NV=n; NE=;
         memset(head,-,sizeof(head));
         __int64 x=m<<|;
         while(m--){
             scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
             if(d){
                 addEdge(a,b,c*x+);
                 addEdge(b,a,c*x+);
             }else{
                 addEdge(a,b,c*x+);
             }
         }
         printf("Case %d: %I64d\n",cse,ISAP()%x);
     }
     return ;
 }