Loj #2719. 「NOI2018」冒泡排序

题目描述

最近，小 S 对冒泡排序产生了浓厚的兴趣。为了问题简单，小 S 只研究对 *$1$ 到 $n$ 的排列*的冒泡排序。

下面是对冒泡排序的算法描述。

输入：一个长度为 n 的排列 p[1...n]

输出：p 排序后的结果。

for i = 1 to n do

for j = 1 to n - 1 do

if(p[j] > p[j + 1])

交换 p[j] 与 p[j + 1] 的值

冒泡排序的交换次数被定义为交换过程的执行次数。可以证明交换次数的一个下界是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$，其中 $p_i$ 是排列 $p$ 中第 $i$ 个位置的数字。如果你对证明感兴趣，可以看提示。

小 S 开始专注于研究长度为 $n$ 的排列中，满足交换次数 $= \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 的排列（在后文中，为了方便，我们把所有这样的排列叫「好」的排列）。他进一步想，这样的排列到底多不多？它们分布的密不密集？

小 S 想要对于一个给定的长度为 $n$ 的排列 $q$，计算字典序严格大于 $q$ 的“好”的排列个数。但是他不会做，于是求助于你，希望你帮他解决这个问题，考虑到答案可能会很大，因此只需输出答案对 $998244353$ 取模的结果。

输入格式

从文件 inverse.in 读入数据。

输入第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。

对于每组数据，第一行有一个正整数 $n$，保证 $n \leq 6 \times 10^5$。

接下来一行会输入 $n$ 个正整数，对应于题目描述中的 $q_i$，保证输入的是一个 $1$ 到 $n$ 的排列。

输出格式

输出到文件 inverse.out 中。

输出共 $T$ 行，每行一个整数。

对于每组数据，输出一个整数，表示字典序严格大于 $q$ 的「好」的排列个数对 $998244353$ 取模的结果。

数据范围与提示

$n\leq 600000 ,\sum n\leq 2000000$

可以发现，如果一个序列合法，那么对于任意一个数，它在冒泡排序的过程中只能最多向一边移动。我们有知道，如果一个数的右边有比它小的数，那么它一定会向右移动，同理如果左边有一个比它大的数，那么也会向左移动。所以一个合法序列要求每个数不能同时在两边都有逆序对。

根据这个原理就很容易得到一个状压的做法了。

然后考虑有没有多项式复杂度的做法。考虑从左往右填数。假设已经填了数中最大的是$mx$，那么还没有填的数中比$mx$小的那一部分已经有了左边的逆序对，就不能有右边的逆序对了，所以这部分数应该保持升序，而比$mx$大的那部分则没有这个限制。

于是就可以$DP$了。设$f_{i,j}$表示还剩$i$个数没有填，没有限制的数有$j$个的方案数。

初始化：$f_{0,0}=1$。

转移：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+\sum_{k=0}^{j-1}f_{i-1,k}\\
=\sum_{k=0}^jf_{i-1,k}
\]

考虑新加进来的数是否有限制，如果没有，那么知道他是第几个没有限制的数就可以知道剩下的没有限制的数还有多少个了。

这个$DP$方程是$O(n^3)$的，但是我们也可以将这个方程写成以下形式：

\[\begin{align}
f_{i,j}&=f_{i,j-1}+f_{i-1,j}\\
f_{i,0}&=1
\end{align}
\]

这样就变成$O(n^2)$的了。

然后考虑这个$f_{n,m}$的组合意义：一个网格上，从$(0,0)$走到$(n,m)$，每步只能向上或者向右走，并且$i\geq j$的方案数。也就是说整个过程不能经过$y=x+1$这条直线。

于是就可以用一个叫折线定理的东西求解。求出$(0,0)$对$y=x+1$的对称点$(-1,1)$，然后求出由$(-1,1)$走到$(n,m)$的方案数。$(-1,1)$到$(n,m)$的每条路径一定经过了$y=x+1$且唯一对应原问题的一个非法情况（将路径沿$y=x+1$翻折）。所以：

\[f_{n,m}=\binom{n+m}{m}-\binom{n+m}{m-1}
\]

考虑处理字典序的问题。我们枚举$k$，表示$k$之前的所有位置都与$q_i$相同，然后在$k$这个位置填的数$>q_k$。假设$q_{1\ldots k}$中最大的是$q_{mx}$，在$q_{mx+1\ldots n}$中比$q_{mx}$大的有$cnt$个，则此时答案为$f_{n-i+1,cnt-1}$

我们分情况讨论一下为什么是这样的。我们设$k$之前的最大值为$mx$

$q_k>mx$。在$k$这个位置只能填入比$q_k$大的数，显然也比$mx$大，所以这些数是没有限制的数。枚举在$k$这个位置填的是第几大的数，答案为$\sum_{j=0}^{cnt-1}f_{n-i,j}=f_{n-i+1,cnt-1}$。
$q_k<mx$。假设在$k$这个位置填的数$q_k<x<mx$显然是不可能的。因为$x$是与$q_k$都是有限制的数，只能保持升序，所以$x<q_k<mx$。所以只能填$>mx$的数，答案依然是$\sum_{j=0}^{cnt-1}f_{n-k,j}=f_{n-k+1,cnt-1}$。

当序列已经不合法了就结束。

具体实现可以用树状数组。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 600005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;

ll ksm(ll t,ll x) {

	ll ans=1;

	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

		if(x&1) ans=ans*t%mod;

	return ans;

}

int n;

int q[N];

ll fac[N*2],ifac[N*2];

void pre(int n) {

	fac[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

	ifac[n]=ksm(fac[n],mod-2);

	for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;

}

ll C(int n,int m) {return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}

ll cal(int n,int k) {

	if(k==0) return 1;

	if(k==1) return n;

	return (C(n+k,k)-C(n+k,k-1)+mod)%mod;

}

int low(int i) {return i&(-i);}

int tem[N];

void add(int v,int f) {for(int i=v;i<=n;i+=low(i)) tem[i]+=f;}

int query(int v) {

	int ans=0;

	for(int i=v;i;i-=low(i)) ans+=tem[i];

	return ans;

}

bool vis[N];

int main() {

	pre(1200000);

	int T=Get();

	while(T--) {

		ll ans=0;

		n=Get();

		for(int i=1;i<=n;i++) tem[i]=0;

		for(int i=1;i<=n;i++) q[i]=Get();

		int mx=0,cnt;

		for(int i=1;i<=n;i++) {

			if(q[i]>mx) {

				mx=q[i];

				cnt=n-q[i]-(i-1-query(q[i]-1));

			}

			(ans+=cal(n-i+1,cnt-1))%=mod;

			int low=query(q[i]-1);

			if(low!=i-1&&low!=q[i]-1) break;

			add(q[i],1);

		}

		cout<<ans<<"\n";

	}

	return 0;

}