统计学习导论(ISLR)

参考资料

The Elements of Statistical Learning
An Introduction to Statistical Learning
统计学习导论（二）：统计学习概述
 统计学习导论（三）：线性回归
 统计学习导论）四）：分类
 统计学习导论之R语言应用（二）：R语言基础
 统计学习导论之R语言应用（三）：线性回归R语言代码实战
 统计学习导论之R语言应用（四）：分类算法R语言代码实战

文章目录

统计学习导论(ISLR)
第二章线性回归

第二章线性回归

2.1简单线性回归

ISLR2库包含波士顿数据集，该数据集记录波士顿506个人口普查区的medv（房屋价值中值）。
我们将使用12个预测变量，如rmvar（每户平均房间数）、年龄（平均房屋年龄）和lstat（低社会经济地位家庭的百分比），来预测medv。

library(ISLR2)

library(MASS)

head(Boston)

A data.frame: 6 × 14
	crim	zn	indus	chas	nox	rm	age	dis	rad	tax	ptratio	black	lstat	medv
	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<int>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<int>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>
1	0.00632	18	2.31	0	0.538	6.575	65.2	4.0900	1	296	15.3	396.90	4.98	24.0
2	0.02731	0	7.07	0	0.469	6.421	78.9	4.9671	2	242	17.8	396.90	9.14	21.6
3	0.02729	0	7.07	0	0.469	7.185	61.1	4.9671	2	242	17.8	392.83	4.03	34.7
4	0.03237	0	2.18	0	0.458	6.998	45.8	6.0622	3	222	18.7	394.63	2.94	33.4
5	0.06905	0	2.18	0	0.458	7.147	54.2	6.0622	3	222	18.7	396.90	5.33	36.2
6	0.02985	0	2.18	0	0.458	6.430	58.7	6.0622	3	222	18.7	394.12	5.21	28.7

要了解有关数据集的更多信息，我们可以键入?Boston。
我们将首先使用lm（）函数拟合一个简单的线性回归模型，
以medv作为被解释变量，以lstat作为解释变量。

lm.fit <- lm(medv~lstat, data = Boston)

lm.fit

Call:

lm(formula = medv ~ lstat, data = Boston)

Coefficients:

(Intercept)        lstat

      34.55        -0.95

summary(lm.fit)

Call:

lm(formula = medv ~ lstat, data = Boston)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-15.168  -3.990  -1.318   2.034  24.500 

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 34.55384    0.56263   61.41   <2e-16 ***

lstat       -0.95005    0.03873  -24.53   <2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.216 on 504 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.5441,	Adjusted R-squared:  0.5432

F-statistic: 601.6 on 1 and 504 DF,  p-value: < 2.2e-16

我们可以使用names（）函数来找出lm中存储了哪些其他信息。我们可以通过名称提取这些数量，
例如lm.fit$coefficients,使用诸如coef（）之类的提取器函数来访问它们更安全。

names(lm.fit)

'coefficients'
'residuals'
'effects'
'rank'
'fitted.values'
'assign'
'qr'
'df.residual'
'xlevels'
'call'
'terms'
'model'

# 相关系数

coef(lm.fit)

(Intercept)

34.5538408793831

lstat

-0.95004935375799

# 置信区间

confint(lm.fit)

A matrix: 2 × 2 of type dbl
	2.5 %	97.5 %
(Intercept)	33.448457	35.6592247
lstat	-1.026148	-0.8739505

predict（）函数可用于生成置信区间和预测区间，用于预测给定lstat值的medv。

predict(lm.fit, data.frame(lstat = c(5,10,15)), interval = 'prediction')

A matrix: 3 × 3 of type dbl
	fit	lwr	upr
1	29.80359	17.565675	42.04151
2	25.05335	12.827626	37.27907
3	20.30310	8.077742	32.52846

attach(Boston)

plot(lstat, medv)

abline(lm.fit)

函数的作用是：绘制任意直线，而不仅仅是最小二乘回归线。要用截距a和斜率b绘制一条线，我们需要键入一条线（a，b）。下面我们将试验一些用于线和点的附加设置。lwd=3命令使回归线的宽度增加3倍；
这也适用于plot（）和lines（）函数。我们还可以使用pch选项创建不同的符号。

plot(lstat, medv)

abline(lm.fit, lwd = 3, col='red')

plot(lstat, medv, pch = 20)

plot(lstat, medv, pch = "+")

plot(1:20, 1:20, pch = 1:20)

par(mfrow = c(2, 2))

plot(lm.fit)

which.max(hatvalues(lm.fit))

375: 375

which.max()函数的作用是：标识向量中最大元素的索引。在本例中，它告诉我们哪个观测具有最大的杠杆统计。

2.2多元线性回归

为了使用最小二乘法拟合多元线性回归模型，我们再次使用lm（）函数，summary（）函数现在输出所有预测值的回归系数。

mfit <- lm(medv~lstat + age)

summary(mfit)

Call:

lm(formula = medv ~ lstat + age)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-15.981  -3.978  -1.283   1.968  23.158 

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 33.22276    0.73085  45.458  < 2e-16 ***

lstat       -1.03207    0.04819 -21.416  < 2e-16 ***

age          0.03454    0.01223   2.826  0.00491 **

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.173 on 503 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.5513,	Adjusted R-squared:  0.5495

F-statistic:   309 on 2 and 503 DF,  p-value: < 2.2e-16

波士顿数据集包含12个变量，因此必须键入所有这些变量才能使用所有预测值进行回归，这将是一件麻烦的事情。相反，我们可以使用以下简称：

lm.fit <- lm(medv ~ ., data = Boston)

summary(lm.fit)

Call:

lm(formula = medv ~ ., data = Boston)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-15.595  -2.730  -0.518   1.777  26.199 

Coefficients:

              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  3.646e+01  5.103e+00   7.144 3.28e-12 ***

crim        -1.080e-01  3.286e-02  -3.287 0.001087 **

zn           4.642e-02  1.373e-02   3.382 0.000778 ***

indus        2.056e-02  6.150e-02   0.334 0.738288

chas         2.687e+00  8.616e-01   3.118 0.001925 **

nox         -1.777e+01  3.820e+00  -4.651 4.25e-06 ***

rm           3.810e+00  4.179e-01   9.116  < 2e-16 ***

age          6.922e-04  1.321e-02   0.052 0.958229

dis         -1.476e+00  1.995e-01  -7.398 6.01e-13 ***

rad          3.060e-01  6.635e-02   4.613 5.07e-06 ***

tax         -1.233e-02  3.760e-03  -3.280 0.001112 **

ptratio     -9.527e-01  1.308e-01  -7.283 1.31e-12 ***

black        9.312e-03  2.686e-03   3.467 0.000573 ***

lstat       -5.248e-01  5.072e-02 -10.347  < 2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.745 on 492 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.7406,	Adjusted R-squared:  0.7338

F-statistic: 108.1 on 13 and 492 DF,  p-value: < 2.2e-16

summary(lm.fit)$r.sq 得到 $

{R^2}

R2,（lm.fit）$sigma为我们提供了RSE,vif（）函数是car包的一部分，可用于计算方差膨胀系数。

library(car)

Warning message:

"package 'car' was built under R version 4.0.5"

Loading required package: carData

Warning message:

"package 'carData' was built under R version 4.0.3"

vif(lm.fit)

crim

1.79219154743324

2.29875817874944

indus

3.99159641834602

chas

1.07399532755379

nox

4.39371984757748

1.93374443578326

age

3.10082551281533

dis

3.95594490637272

rad

7.48449633527445

tax

9.00855394759706

ptratio

1.79908404924889

black

1.34852107640637

lstat

2.94149107809193

如果我们想使用除一个变量外的所有变量执行回归，该怎么办？例如，在上述回归输出中，年龄具有较高的p值。因此，我们可能希望运行一个不包括该预测值的回归。以下语法导致使用除年龄以外的所有预测值进行回归。

mfit2 <- lm(medv ~.- age, data=Boston)

summary(mfit2)

Call:

lm(formula = medv ~ . - age, data = Boston)

Residuals:

     Min       1Q   Median       3Q      Max

-15.6054  -2.7313  -0.5188   1.7601  26.2243 

Coefficients:

              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  36.436927   5.080119   7.172 2.72e-12 ***

crim         -0.108006   0.032832  -3.290 0.001075 **

zn            0.046334   0.013613   3.404 0.000719 ***

indus         0.020562   0.061433   0.335 0.737989

chas          2.689026   0.859598   3.128 0.001863 **

nox         -17.713540   3.679308  -4.814 1.97e-06 ***

rm            3.814394   0.408480   9.338  < 2e-16 ***

dis          -1.478612   0.190611  -7.757 5.03e-14 ***

rad           0.305786   0.066089   4.627 4.75e-06 ***

tax          -0.012329   0.003755  -3.283 0.001099 **

ptratio      -0.952211   0.130294  -7.308 1.10e-12 ***

black         0.009321   0.002678   3.481 0.000544 ***

lstat        -0.523852   0.047625 -10.999  < 2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.74 on 493 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.7406,	Adjusted R-squared:  0.7343

F-statistic: 117.3 on 12 and 493 DF,  p-value: < 2.2e-16

2.3交互项

使用lm（）函数可以很容易地在线性模型中包含交互项。语法lstat:black告诉R在lstat和black之间包含一个交互项。语法lstat*age同时包括lstat、age和交互项lstat×age作为预测器；它是lstat+age+lstat:age的缩写我们还可以传递经过转换的预测值。

summary(lm(medv ~ lstat * age, data = Boston))

Call:

lm(formula = medv ~ lstat * age, data = Boston)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-15.806  -4.045  -1.333   2.085  27.552 

Coefficients:

              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 36.0885359  1.4698355  24.553  < 2e-16 ***

lstat       -1.3921168  0.1674555  -8.313 8.78e-16 ***

age         -0.0007209  0.0198792  -0.036   0.9711

lstat:age    0.0041560  0.0018518   2.244   0.0252 *

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.149 on 502 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.5557,	Adjusted R-squared:  0.5531

F-statistic: 209.3 on 3 and 502 DF,  p-value: < 2.2e-16

2.4 非线性转换

lm（）函数还可以对解释变量的非线性变换。
例如，给定一个解释变量X，我们可以使用

(

)

I(X^2)

I(X2)创建

{X^2}

X2。函数I()是必需的，因为^在公式对象中具有特殊意义；
我们所做的包装允许在R中使用标准用法，即将X提高到2的幂。我们现在将medv对lstat和lstat^2的回归。

lm.fit2 <- lm(medv ~ lstat + I(lstat^2))

summary(lm.fit2)

Call:

lm(formula = medv ~ lstat + I(lstat^2))

Residuals:

     Min       1Q   Median       3Q      Max

-15.2834  -3.8313  -0.5295   2.3095  25.4148 

Coefficients:

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 42.862007   0.872084   49.15   <2e-16 ***

lstat       -2.332821   0.123803  -18.84   <2e-16 ***

I(lstat^2)   0.043547   0.003745   11.63   <2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 5.524 on 503 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.6407,	Adjusted R-squared:  0.6393

F-statistic: 448.5 on 2 and 503 DF,  p-value: < 2.2e-16

# 通过方差分析比较两个模型的好坏

lm.fit <- lm(medv ~ lstat)

anova(lm.fit, lm.fit2)

A anova: 2 × 6
	Res.Df	RSS	Df	Sum of Sq	F	Pr(>F)
	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>
1	504	19472.38	NA	NA	NA	NA
2	503	15347.24	1	4125.138	135.1998	7.630116e-28

这里，模型1表示仅包含一个解释变量lstat的线性子模型，而模型2对应于具有两个解释变量lstat和lstat^2的二次模型。函数的作用是对两个模型进行假设检验。
零假设是两个模型都能很好地拟合数据，被择假设是全模型更优。此处F统计值为135，p值几乎为零。这提供了非常明确的证据，表明包含lstat和lstat^2的模型远远优于仅包含lstat的模型。这并不奇怪，因为早些时候我们看到了medv和lstat之间关系的非线性证据

par(mfrow = c(2, 2))

plot(lm.fit2)

然后我们看到，当

lstat^2

lstat2 项包含在模型中时，残差图中表现的更好。为了创建三次拟合，我们可以包括形式I（X^3）的预测值。然而，对于高阶多项式，这种方法可能开始变得麻烦。更好的方法是使用poly（）函数在lm（）中创建多项式。例如，以下命令生成五阶多项式拟合：

mfit5 <- lm(medv ~ poly(lstat, 5))

summary(mfit5)

Call:

lm(formula = medv ~ poly(lstat, 5))

Residuals:

     Min       1Q   Median       3Q      Max

-13.5433  -3.1039  -0.7052   2.0844  27.1153 

Coefficients:

                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)       22.5328     0.2318  97.197  < 2e-16 ***

poly(lstat, 5)1 -152.4595     5.2148 -29.236  < 2e-16 ***

poly(lstat, 5)2   64.2272     5.2148  12.316  < 2e-16 ***

poly(lstat, 5)3  -27.0511     5.2148  -5.187 3.10e-07 ***

poly(lstat, 5)4   25.4517     5.2148   4.881 1.42e-06 ***

poly(lstat, 5)5  -19.2524     5.2148  -3.692 0.000247 ***

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 5.215 on 500 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.6817,	Adjusted R-squared:  0.6785

F-statistic: 214.2 on 5 and 500 DF,  p-value: < 2.2e-16

这表明，包括额外的多项式项，高达五阶，可以改善模型拟合！然而，对数据的进一步研究表明，五阶以上的多项式项在回归拟合中并没有显著的p值。

# 取对数变换

summary(lm(medv ~ log(rm), data = Boston))

Call:

lm(formula = medv ~ log(rm), data = Boston)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-19.487  -2.875  -0.104   2.837  39.816 

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  -76.488      5.028  -15.21   <2e-16 ***

log(rm)       54.055      2.739   19.73   <2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.915 on 504 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.4358,	Adjusted R-squared:  0.4347

F-statistic: 389.3 on 1 and 504 DF,  p-value: < 2.2e-16

2.5定性解释变量

现在我们将检查Carseats数据，它是ISLR2库的一部分。我们将尝试根据一些解释变量预测400个地点的sales（儿童汽车座椅销售）。

head(Carseats)

A data.frame: 6 × 11
	Sales	CompPrice	Income	Advertising	Population	Price	ShelveLoc	Age	Education	Urban	US
	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<fct>	<dbl>	<dbl>	<fct>	<fct>
1	9.50	138	73	11	276	120	Bad	42	17	Yes	Yes
2	11.22	111	48	16	260	83	Good	65	10	Yes	Yes
3	10.06	113	35	10	269	80	Medium	59	12	Yes	Yes
4	7.40	117	100	4	466	97	Medium	55	14	Yes	Yes
5	4.15	141	64	3	340	128	Bad	38	13	Yes	No
6	10.81	124	113	13	501	72	Bad	78	16	No	Yes

汽车座椅数据包括定性预测因子，如shelveloc，这是货架位置质量的指示器，即商店内每个位置显示汽车座椅的空间。预测器shelveloc有三个可能的值：坏、中等和好。给定一个定性变量（如shelveloc），R会自动生成虚拟变量。下面我们拟合了一个多元回归模型，其中包括一些相互作用项。

lm.fit <- lm(Sales ~ . + Income:Advertising + Price:Age,

    data = Carseats)

summary(lm.fit)

Call:

lm(formula = Sales ~ . + Income:Advertising + Price:Age, data = Carseats)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-2.9208 -0.7503  0.0177  0.6754  3.3413 

Coefficients:

                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)         6.5755654  1.0087470   6.519 2.22e-10 ***

CompPrice           0.0929371  0.0041183  22.567  < 2e-16 ***

Income              0.0108940  0.0026044   4.183 3.57e-05 ***

Advertising         0.0702462  0.0226091   3.107 0.002030 **

Population          0.0001592  0.0003679   0.433 0.665330

Price              -0.1008064  0.0074399 -13.549  < 2e-16 ***

ShelveLocGood       4.8486762  0.1528378  31.724  < 2e-16 ***

ShelveLocMedium     1.9532620  0.1257682  15.531  < 2e-16 ***

Age                -0.0579466  0.0159506  -3.633 0.000318 ***

Education          -0.0208525  0.0196131  -1.063 0.288361

UrbanYes            0.1401597  0.1124019   1.247 0.213171

USYes              -0.1575571  0.1489234  -1.058 0.290729

Income:Advertising  0.0007510  0.0002784   2.698 0.007290 **

Price:Age           0.0001068  0.0001333   0.801 0.423812

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.011 on 386 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.8761,	Adjusted R-squared:  0.8719

F-statistic:   210 on 13 and 386 DF,  p-value: < 2.2e-16

contrasts() 函数返回虚拟变量

attach(Carseats)

contrasts(ShelveLoc)

A matrix: 3 × 2 of type dbl
	Good	Medium
Bad	0	0
Good	1	0
Medium	0	1

R创建了一个ShelveLocGood伪变量，如果搁置位置良好，则该变量的值为1，否则为0。它还创建了一个ShelveLocMedium伪变量，如果搁置位置为中等，则该变量等于1，否则为0。错误的搁置位置对应于两个虚拟变量中每个变量的零。回归输出中货架商品系数为正的事实表明，良好的货架位置与较高的销售额相关（相对于糟糕的位置）。而ShelveLocMedium的正系数较小，表明中等货架位置的销售额高于不良货架位置，但低于良好货架位置。

2.6 函数编写

正如我们所看到的，R附带了许多有用的函数，还有更多的函数可以通过R库获得。然而，我们通常对执行一个没有可以直接使用的函数的操作感兴趣。在此设置中，我们可能需要编写自己的函数。例如，下面我们提供了一个简单的函数，名为LoadLibraries（），用于读取ISLR2和MASS库。在我们创建函数之前，如果我们试图调用它，R将返回一个错误。

LoadLibraries <- function(){

    library(ISLR2)

    library(MASS)

    print("相关库已经导入")

}

LoadLibraries()

[1] "相关库已经导入"

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