BUAA_DS_北航数据结构：输出全排列

输入一个数 \(n\)，输出 \(1\sim n\) 的所有全排列，每个排列占一行，每个字符保留 \(5\) 个场宽。勤奋的同学一定已经开始打表了是吧。

说是能做肯定不是骗大家，那怎么做呢~

其实回溯法本质还是递归，回想我们做过的小兔子（青蛙）跳台阶的那题，只是需要算出总的方案数就可以，但是这个让你来输出具体的排列，这就需要你来保留每一层递归的状态，所以我们用一个全局数组来完成这一工作（暂且命名为stack，大家可以查一查这个单词什么意思）。

以 \(n=3\) 为例，一开始stack 是空的，我们需要枚举从 \(1\) 到 \(n\) 这几个数字，填充到 stack[0] 里：

\(\Downarrow\)
1

OK 放进去了，然后考虑后面一个数字，还是从 \(1\) 到 \(n=3\) 枚举：

	\(\Downarrow\)
1	1

大家觉得这样行吗？

——你这都跟前面重复了肯定不行啊！

不行是吧，那就换一个 \(2\)：

	\(\Downarrow\)
1	2

OK 舒服了，再看下一个（我已经试过了，放 \(1\) 不行，\(2\) 也不行，那就放 \(3\)）：

		\(\Downarrow\)
1	2	3

好的，看看下一个……哎呦怎么满了，那就输出一下叭：

此时你的控制台输出：

    1    2    3

好的我们把 \(3\) 拿掉，往回退一层：

	\(\Downarrow\)
1	2

这个 \(2\) 不是从 \(1\) 枚举过来的吗，那还没有枚举完，就还要继续枚举下去：

	\(\Downarrow\)
1	3

好的进入下一层从 \(1\) 开始枚举：

		\(\Downarrow\)
1	3	1

不行，跟前面重复了，换 \(2\) 试试：

		\(\Downarrow\)
1	3	2

好像可以，stack 又满了诶，输出一下：

    1    2    3
    1    3    2

再把最后一个元素试图换一下 \(3\)：

		\(\Downarrow\)
1	3	3

不行，死心了，往回退：

	\(\Downarrow\)
1	3

呃，第二个元素也举到 \(3\) 了，不能继续举了，只能再退一层，把 \(1\) 换成 \(2\) 试试：

\(\Downarrow\)
2

没啥问题，再放下一个，从 \(1\) 开始枚举：

	\(\Downarrow\)
2	1

也没有重复的，再下一个：

		\(\Downarrow\)
2	1	1

最后一个放 \(1\) 行吗？不行，重复了。

		\(\Downarrow\)
2	1	2

最后一个放 \(2\) 也重复了。

		\(\Downarrow\)
2	1	3

那就放 \(3\)，一看可以，输出一下：

    1    2    3
    1    3    2
    2    1    3

接下来就是周而复始的过程，直到全部都枚举完，你的输出应该是这样的：

    1    2    3
    1    3    2
    2    1    3
    2    3    1
    3    1    2
    3    2    1

我们习惯上把上面的递归过程叫做 \(DFS(Depth-First-Search)\)，中文叫“深度优先搜索”，就是在一层递归里面有一个循环，每个循环还要跑一个递归，关于 \(DFS\) 在数据结构的“图 \((Graph)\)” 部分也会有讲。用“伪代码”（新词汇又来了hhh）描述这个递归是这样的：

• 参数 len 是进入递归之前 stack 的有效长度，所以最开始调用的时候 len 应该是 0；
• stack 和 n 被定义为全局变量。

void dfs(int len) {
	if (len == n) {
		输出 stack;
		return;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (i 与 stack[0] 到 stack[len - 1] 的元素都不重复) {
			stack[len] = i;
			dfs(len + 1);
		}
}

对于某一层递归，进入之前已经填充了 len 个，所以检查重复的时候只要从 stack[0] 检查到 stack[len - 1]。

可以想见在运行的时候这个 stack 应该是不断伸伸缩缩的，但是在退回上一层的时候并没有删除后面的元素（反正留在那也不影响，因为检查重复是到下标 len - 1，后面的不会被访问到）。

在 main() 函数里只需要这么写：

int main() {
    scanf("%d", &n);
    dfs(0);
    // 没错我的代码可以很潇洒
    return 0;
}

然后再把“输出 stack”翻译一下：

void print_stack() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%5d", stack[i]);
    }
    puts("");
}

翻译一下“i 与 stack[0] 到 stack[len - 1] 的元素是否重复”，顺序查找，找到了返回 1，找不到返回 0：

int find_in_stack(int key, int len) {
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        if (key == stack[i])
            return 1;
    }
    return 0;
}

大功告成，奉上完整代码：

#include <stdio.h>

int n;
int stack[10];

void print_stack();
void dfs(int len);
int find_in_stack(int key, int len);

int main() {
    scanf("%d", &n);
    dfs(0);
    // 没错我的代码可以很潇洒
    return 0;
}

void dfs(int len) {
    if (len == n) {
        print_stack();
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!find_in_stack(i, len)) {
            stack[len] = i;
            dfs(len + 1);
        }
}

void print_stack() {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%5d", stack[i]);
    puts("");
}

int find_in_stack(int key, int len) {
    for(int i = 0; i < len; i++)
        if (key == stack[i])
            return 1;
    return 0;
}