HDU 5322 Hope (分治NTT优化DP)

题面传送门

题目大意：

假设现在有一个排列，每个数和在它右面第一个比它大的数连一条无向边，会形成很多联通块。

定义一个联通块的权值为：联通块内元素数量的平方。

定义一个排列的权值为：每个联通块的权值之积

求长度为$n$所有排列的权值之和，$n\leq 1e5$，$1e4$组询问

原题面描述不清楚啊..害得我白想了30min

和ZOJ3874一样都是排列$DP$问题

$DP$方程还是不难想的

假设现在有一个$i-1$的排列，当我们把$i$某个位置上时

$i$前面的数都会和$i$连通，$i$后面的数一定不和$i$前面的数连通

利用这个性质就可以$DP$了，定义$f[i]$表示长度为$i$的所有排列的权值之和

$f[i]$

$i$后面一共j个数可以在$i-1$个数中任选，$i$前面一共$i-j-1$个数可以任意排列，可得

$=\sum C_{i-1}^{j}f[j](i-j-1)!(i-j)^{2}$

化简

$=(i-1)!\sum \frac{f[j]}{j!}(i-j)^{2}$

发现这是一个卷积的形式，用分治$NTT$解决即可

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N1 (1<<18)+10
 #define il inline
 #define dd double
 #define ld long double
 #define ll long long
 using namespace std;

 const int inf=0x3f3f3f3f;
 const ll p=;
 int gint()
 {
     int ret=,fh=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*fh;
 }
 ll qpow(ll x,ll y)
 {
     ll ans=;
     for(;y;x=x*x%p,y>>=) if(y&) ans=ans*x%p;
     return ans;
 }

 namespace NTT{

 ll a[N1],b[N1],c[N1],Wn[N1],_Wn[N1];
 int r[][N1];
 void Pre(int len,int L)
 {
     int i,j;
     for(j=;j<=L;j++) for(i=;i<(<<j);i++)
         r[j][i]=(r[j][i>>]>>)|((i&)<<(j-));
     for(i=;i<=len;i<<=) Wn[i]=qpow(,(p-)/i), _Wn[i]=qpow(Wn[i],p-);
 }
 void NTT(ll *s,int len,int type,int L)
 {
     int i,j,k; ll wn,w,t;
     for(i=;i<len;i++) if(i<r[L][i]) swap(s[i],s[r[L][i]]);
     for(k=;k<=len;k<<=)
     {
         wn=(type>)?Wn[k]:_Wn[k];
         for(i=;i<len;i+=k)
         {
             for(j=,w=;j<(k>>);j++,w=w*wn%p)
             {
                 t=w*s[i+j+(k>>)]%p;
                 s[i+j+(k>>)]=(s[i+j]+p-t)%p;
                 s[i+j]=(s[i+j]+t)%p;
             }
         }
     }
 }
 void Main(int len,int L)
 {
     int i,invl=qpow(len,p-);
     NTT(a,len,,L); NTT(b,len,,L);
     for(i=;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i]%p;
     NTT(c,len,-,L);
     for(i=;i<len;i++) c[i]=c[i]*invl%p;
 }
 void clr(int sz)
 {
     memset(a,,sz<<);
     memset(b,,sz<<);
 }

 };

 using NTT::a; using NTT::b; using NTT::c;
 ll f[N1],g[N1],ans[N1],mul[N1],_mul[N1]; int de;
 void CDQ(int l,int r)
 {
     if(r-l==&&l>)
     {
         ans[l]=mul[l-]*f[l]%p;
         f[l]=ans[l]*_mul[l]%p; return;
     }
     if(r-l<=) return;
     int mid=(l+r)>>,i,len,L;
     CDQ(l,mid);
     for(len=,L=;len<(mid-l)+(r-l)-;len<<=,L++);
     for(i=l;i<mid;i++) NTT::a[i-l]=f[i];
     for(i=;i<(r-l);i++) NTT::b[i]=g[i];
     NTT::Main(len,L);
     for(i=mid;i<r;i++) f[i]=(f[i]+NTT::c[i-l])%p;
     NTT::clr(len);
     CDQ(mid,r);
 }
 int T,n,m;
 int que[N1];

 int main()
 {
     int i,j,x,y,len,L;
     n=;
     for(i=;i<n;i++) g[i]=1ll*i*i%p;
     mul[]=mul[]=_mul[]=_mul[]=;
     for(i=;i<n;i++) mul[i]=mul[i-]*i%p, _mul[i]=qpow(mul[i],p-);
     for(len=,L=;len<n+n-;len<<=,L++);
     NTT::Pre(len,L);
     f[]=; CDQ(,n);
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
         printf("%lld\n",ans[n]);
     return ;

 }