BZOJ5332: [Sdoi2018]旧试题(莫比乌斯反演)

时光匆匆，转眼间又是一年寒暑……

这是小 Q 同学第二次参加省队选拔赛。

今年，小 Q 痛定思痛，不再冒险偷取试题，而是通过练习旧 试题提升个人实力。可是旧试题太多了，小 Q 没日没夜地做题，却看不到前方的光明在哪里。

一天，因做题过度而疲惫入睡的小 Q 梦到自己在考场上遇到了一道好像做过的题目，却怎么也想不 起曾经自己是怎么解决它的，直到醒来还心有余悸。

小 Q 眉头一皱，感觉事情不妙，于是他找到了你，希望你能教他解决这道题目。小 Q 依稀记得题目 要计算如下表达式的值

　　$({\sum_{i=1}^{A}}{\sum_{j=1}^{B}}{\sum_{k=1}^{C}}d(ijk))mod(10^9+7)$

其中 d(ijk) 表示 ijk 的约数个数。

Input

第一行包含一个正整数 T，表示有 T 组测试数据。 接下来 T 行，每行描述一组测试数据，包含三个整数 A, B 和 C，含义见题目描述。

Output

对于每组测试数据，输出一行，包含一个整数，表示所求表达式的值。

解题思路：

极限卡常题，具体卡常的方法主要是使用vector代替链式前向星，如果还过不去，还是看看dalao们的博客吧。

这里主要讲算法。

首先是喜闻乐见的莫比乌斯反演，三个$\sum$有点中暑，慢慢推吧其实都差不多。

不妨设$A\leq B\leq C$,则:

$Ans={\sum_{i=1}^{A}}{\sum_{j=1}^{B}}{\sum_{k=1}^{C}}d(ijk)$

$={\sum_{i=1}^{A}}{\sum_{x|i}}{\sum_{j=1}^{B}}{\sum_{y|j}}{\sum_{k=1}^{C}}{\sum_{z|k}}{\varepsilon(gcd(x,y))}{\varepsilon(gcd(y,z))}{\varepsilon(gcd(x,z))}$

$={\sum_{x=1}^{A}}{\sum_{x|i}^{A}}{\sum_{y=1}^{B}}{\sum_{y|j}^{B}}{\sum_{z=1}^{C}}{\sum_{z|k}^{C}}{\varepsilon(gcd(x,y))}{\varepsilon(gcd(y,z))}{\varepsilon(gcd(x,z))}$

$={\sum_{x=1}^{A}}{\sum_{y=1}^{B}}{\sum_{z=1}^{C}}{\left\lfloor{\frac{A}{x}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{B}{y}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{C}{z}}\right\rfloor}{\varepsilon(gcd(x,y))}{\varepsilon(gcd(y,z))}{\varepsilon(gcd(x,z))}$

$={\sum_{x=1}^{A}}{\sum_{y=1}^{B}}{\sum_{z=1}^{C}}{\left\lfloor{\frac{A}{x}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{B}{y}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{C}{z}}\right\rfloor}{\sum_{i|gcd(x,y)}}{\sum_{j|gcd(y,z)}}{\sum_{k|gcd(x,z)}}{\mu(i))}{\mu(j))}{\mu(k))}$

$={\sum_{i=1}^{A}}{\sum_{j=1}^{B}}{\sum_{k=1}^{A}}{\mu(x)}{\mu(y)}{\mu(z)}{\sum_{x|lcm(i,k)}}{\sum_{y|lcm(i,j)}}{\sum_{z|lcm(j,k)}}{\left \lfloor {\frac{A}{i}} \right \rfloor}{\left \lfloor {\frac{B}{j}} \right \rfloor}{\left \lfloor {\frac{C}{k}} \right \rfloor}$

将$\mu$不等于0的连边，双向改单向枚举三元环就好了。

代码：

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 typedef long long lnt;
 const int N=;
 const lnt mod=(lnt)(1e9+);
 struct edge{
     int from;
     int to;
     int lcm;
 }ed[N*];
 struct ent{
     int twd;
     int lcm;
 };
 int prime[N];
 int miu[N];
 int ind[N];
 bool vis[N];
 lnt Lcm[N];
 lnt F[][N];
 int cnt;
 std::vector<ent>hd[N];
 int A,B,C;
 void gtp(void)
 {
     miu[]=;
     for(int i=;i<N;i++)
     {
         if(!vis[i])
         {
             prime[++cnt]=i;
             miu[i]=-;
         }
         for(int j=;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++)
         {
             vis[i*prime[j]]=true;
             if(i%prime[j]==)
                 break;
             miu[i*prime[j]]=-miu[i];
         }
     }
     return ;
 }
 lnt gcd(lnt x,lnt y)
 {
     if(!y)
         return x;
     return gcd(y,x%y);
 }
 int main()
 {
     int T;
     gtp();
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         int a,b,c;
         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
         A=std::min(a,std::min(b,c));
         C=std::max(a,std::max(b,c));
         B=a+b+c-A-C;
         cnt=;
         for(int i=;i<=C;i++)
             hd[i].clear(),ind[i]=;
         for(int i=;i<=C;i++)
             F[][i]=F[][i]=F[][i]=;
         for(int i=;i<=A;i++)
             for(int j=i;j<=A;j+=i)
                 F[][i]+=A/j;
         for(int i=;i<=B;i++)
             for(int j=i;j<=B;j+=i)
                 F[][i]+=B/j;
         for(int i=;i<=C;i++)
             for(int j=i;j<=C;j+=i)
                 F[][i]+=C/j;
         lnt ans=;
         for(int i=;i<=A;i++)
             if(miu[i])
                 ans+=miu[i]*F[][i]*F[][i]*F[][i];
         ans%=mod;
         for(int d=;d<=C;d++)
         {
             for(int i=;i*d<=C;i++)
             {
                 if(!miu[i*d])
                     continue;
                 for(int j=i+;1ll*j*i*d<=C;j++)
                 {
                     if(miu[j*d]==||gcd(j,i)!=)
                         continue;
                     int x=i*d,y=j*d,lcm=i*j*d;
                     ans+=miu[x]*(F[][y]*F[][lcm]*F[][lcm]+F[][y]*F[][lcm]*F[][lcm]+F[][y]*F[][lcm]*F[][lcm]);
                     ans=ans%mod;
                     ans+=miu[y]*(F[][x]*F[][lcm]*F[][lcm]+F[][x]*F[][lcm]*F[][lcm]+F[][x]*F[][lcm]*F[][lcm]);
                     ans=ans%=mod;
                     ind[x]++;
                     ind[y]++;
                     ed[++cnt]=(edge){x,y,lcm};
                 }
             }
         }
         for(int i=;i<=cnt;i++)
         {
             int f=ed[i].from,t=ed[i].to,v=ed[i].lcm;
             if(ind[f]<ind[t]||(ind[f]==ind[t]&&f<t))
                 hd[f].push_back((ent){t,v});
             else
                 hd[t].push_back((ent){f,v});
         }
         for(int i=;i<=C;i++)
         {
             for(int j=;j<hd[i].size();j++)
                 Lcm[hd[i][j].twd]=hd[i][j].lcm;
             for(int j=;j<hd[i].size();j++)
             {
                 int a=i,b=hd[i][j].twd;
                 for(int k=;k<hd[b].size();k++)
                 {
                     int c=hd[b][k].twd;;
                     int lab=hd[a][j].lcm;
                     int lbc=hd[b][k].lcm;
                     int lac=Lcm[c];
                     if(!lac)
                         continue;
                     lnt tmp=miu[a]*miu[b]*miu[c];
                     lnt ttt=F[][lab]*F[][lbc]*F[][lac]+
                             F[][lab]*F[][lac]*F[][lbc]+
                             F[][lbc]*F[][lac]*F[][lab]+
                             F[][lbc]*F[][lab]*F[][lac]+
                             F[][lac]*F[][lab]*F[][lbc]+
                             F[][lac]*F[][lbc]*F[][lab];
                     ans=(ans+ttt*tmp%mod)%mod;
                 }
             }
             for(int j=;j<hd[i].size();j++)
                 Lcm[hd[i][j].twd]=;
         }
         printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
     }
     return ;
 }