chain rule 到 Markov chain

1. 联合概率（joint distribution）的链式法则

基于链式法则的 explicit formula：

p(x1:n)===p(x)p(x1)∏i=2np(xi|x1,…,xi−1)∏i=1np(xi|x1,…,xi−1)

等式左端表示联合概率分布，joint distribution，所谓联合概率表示的事件同时发生的概率，如 p(x3|x1,x2)，的实际含义恰在于，事件 x1 和事件 x2 同时发生的情况下，事件 x3 发生的概率。

2. 从 chain rule 到 Markov chain

马尔科夫链需要满足马尔科夫性，也即后一事件发生的概率，仅与上一事件有关，无记忆性。对于上述的链式法则，则可进一步简化为：

p(x1:n)====p(x)p(x1)∏i=2np(xi|x1,…,xi−1)=p(x1)∏i=2np(xi|xi−1)∏i=1np(xi|x1,…,xi−1)∏i=1np(xi|xi−1)