『最大M子段和 线性DP』

<更新提示>

<第一次更新>

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<正文>

最大M子段和(51nod 1052)

Description

N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，将这N个数划分为互不相交的M个子段，并且这M个子段的和是最大的。如果M >= N个数中正数的个数，那么输出所有正数的和。

例如：-2 11 -4 13 -5 6 -2，分为2段，11 -4 13一段，6一段，和为26。

Input Format

第1行：2个数N和M，中间用空格分隔。N为整数的个数，M为划分为多少段。（2 <= N , M <= 5000)

第2 - N+1行：N个整数 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)

Output Format

输出这个最大和

Sample Input

7
2
-2
11
-4
13
-5
6
-2

Sample Output

26

解析

还是序列最优值问题，很明显是线性DP。不过这一次的状态设置比较裸。

\(f[i][j]\)表示把序列的前\(j\)个元素分为\(i\)段的最大和，其中必须包括第\(j\)个元素。

那么这就成了一道如何优化DP转移的问题。最暴力的思路当然是考虑两种情况：

1.第j个元素和之前的若干元素分入同一个段。

2.第j个元素分入新的一个段。

那么状态转移方程就是：

\[f[i][j]=max(f[i][j-1]+a[j],max\{f[i-1][k]\}+a[j])(k<j)
\]

这是一个经典的决策集合优化DP模型。

注意到，当外层循环\(i\)不变时，随着\(j\)的增加，\(k\)的取值范围也只在原来的基础上增加，那么我们就可以使用决策集合优化，这里选择最简单的一种讲解。

由于第2中情况需要调用到\(max\{f[i-1][k]\}(k<j)\)，那么我们就设\(Maxf[i][j]\)代表\(f\)数组中第一维为\(i\)时，第二维前\(j\)个值的最大值。

此时，很容易发现我们可以在更新\(f\)时顺带更新\(Maxf\)，以便下一次更新\(f\)时调用，这样就优化了一重循环，这就是决策集合优化。

最后一个问题，爆int，开longlong解决，爆空间，滚动数组解决。

滚动数组不再详细讲解。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(long long &k)
{
	long long w=0,x=0;char ch;
	while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	k=(w?-x:x);return;
}
const int N=5000+80,M=5000+80;
long long n,m,a[N],f[2][N]={},Maxf[2][N]={},ans=0;
inline void input(void)
{
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
}
inline void dp(void)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			f[i&1][j]=max(f[i&1][j-1]+a[j],Maxf[i-1&1][j-1]+a[j]);
			Maxf[i&1][j]=max(Maxf[i&1][j-1],f[i&1][j]);
		}
	}
}
int main(void)
{
	input();
	dp();
	printf("%lld\n",Maxf[m&1][n]);
	return 0;
}

考点：决策集合优化。

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<后记>