[Uva P11168] Airport

题目是英文的，这里就不给出来了。

题目的大意是说，在平面上有n个点，要找一条直线，使所有点到直线的平均距离最小，且这些点都在该直线的同一侧（包括直线上）。

那么，既然要使距离最小化，还要使所有点一定在这条直线的同一侧或在这条直线上。恰好，所有点构成的凸包的每条边所在直线都满足了这一要求，并且，凸包上的边比凸包外

边更优。

那么，我们完全可以现将凸包上的点算出（这次用了快而稳的Andrew），然后枚举相邻两点构成的直线。那么，问题来了——平均距离怎么求？如下：

我们已知直线的两个点：(x1,y1),(x2,y2)，也就知道了直线的两点式：

(x1-x)/(x1-x2)=(y1-y)/(y1-y2)，整理一下：

x1y1-x1y2-xy1+xy2=x1y1-x1y-x2y1+x2y

(y2-y1)x+(x1-x2)y+(x2y1-x1y2)=0（也就是一般式Ax+By+C=0）

其中A=y2-y1,B=x1-x2,C=x2y1-x1y2。

这有什么用？

如图，AP*BP=AB*CP，我们所需要的是CP。

CP=AP*BP/AB=(|(Ax0+By0+C)/A|*|(Ax0+By0+C)/B|)/根号(|(Ax0+By0+C)/A|^2+|(Ax0+By0+C)/B|^2)

=|(Ax0+By0+C)^2/AB|/根号((Ax0+By0+C)^2*(A^2+B^2)/A^2*B^2)

=|(Ax0+By0+C)^2/AB|/[(Ax0+By0+C)/AB)*根号(A^2+B^2)]

=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)

= |Ax0+By0+C|

-----------------

根号(A^2+B^2)

然后就显而易见了。对于每条直线，A，B，C是固定的，我们只需要提前求出Σx和Σy就行了。

所以

ans=min(

|AΣx+BΣy+C*n|

---------------

根号(A^2+B^2)

)

代码如下：

 #include<cmath>
 #include<cctype>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 ;
 struct point{
     int x,y;
 }a[maxn],st[maxn];
 struct line{
     int A,B,C;
 };
 int n,len,Sum_x,Sum_y;
 double ans;
 inline int read(){
     ,f=; char ch=getchar();
     while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
     +ch-',ch=getchar();
     return x*f;
 }
 point operator - (point a,point b){
     point c; c.x=a.x-b.x,c.y=a.y-b.y;
     return c;
 }
 double cross(point u,point v){
     return (double)u.x*v.y-(double)v.x*u.y;
 }
 bool cmp(point u,point v){
     if (u.x!=v.x) return u.x<v.x; else return u.y<v.y;
 }
 void Tubao(){
     sort(a+,a+n+,cmp); len=;
     ; i<=n; i++){
         &&cross(st[len]-st[len-],a[i]-st[len-])<=) len--;
         st[++len]=a[i];
     }
     int orilen=len;
     ; i>=; i--){
         ],a[i]-st[len-])<=) len--;
         st[++len]=a[i];
     }
 }
 double abso(double x){
     ?-x:x;
 }
 line getline(point u,point v){
     line li; li.A=v.y-u.y,li.B=u.x-v.x,li.C=v.x*u.y-u.x*v.y;
     return li;
 }
 double calc(line li){
     double v;
     &&li.B!=){
         double v1=abso((double)li.A*Sum_x+(double)li.B*Sum_y+(double)li.C*n),v2=sqrt((double)li.A*li.A+(double)li.B*li.B);
         v=v1/v2;
     }else
     ){
         v=abso((double)Sum_y-(double)n*(-li.C)/li.B);
     }else
     ){
         v=abso((double)Sum_x-(double)n*(-li.C)/li.A);
     }
     return v;
 }
 int main(){
     int T=read();
     ; kase<=T; kase++){
         n=read(),Sum_x=Sum_y=len=,ans=1e18,memset(a,,,sizeof st);
         ; i<=n; i++){
             int x=read(),y=read();
             a[i].x=x,a[i].y=y,Sum_x+=x,Sum_y+=y;
         }
         ){printf("Case #%d: %.3f\n",kase,0.000); continue;}
         Tubao();
         ; i<len; i++){
             line li=getline(st[i],st[i+]);    ans=min(ans,calc(li));
         }
         printf("Case #%d: %.3f\n",kase,ans/(double)n);
     }
     ;
 }