补充(代码)-入门神经网络-Python 实现(下)

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紧接着上篇, 整到了, MES的公式和代码的实现.

$MSE = \frac {1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2$

n 表示样本数, 这里为 4

y 表示要预测的变量, 这里是性别

训练的约束, 就是使得 MSE 的值尽可能小. -> 求解参数

MSE 的工作机制, 举个栗子, 假设网络的纵输出是 0, 也就是预测所有的小伙伴都是妹子.

姓名	$y_i$ (真实值)	$(y_i - \hat y_i)$
youge	1	1
share	1	1
naive	0	0
beyes	0	0

$MSE = \frac {1}{4} (1 + 1 + 0 + 1) = 0.5$

BP算法本质 - 求导链式法则

现在继续...

始终要明确我们的目标: 最小化神经网络的损失 这个损失呢, 本质也就是一个关于 权重和偏置的函数

如图所示:

则本例的损失函数可以这样参数化表示为:

$L(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, b1, b_2, b_3)$

现在来考虑对 w 进行优化, 假设要优化 $w_1$ (即当 $w_1$ 变化时, L 会如何变化), 也就是: $\frac {\partial L}{\partial w_1}$

为了简化一波问题, 假设数据集中就只有一个兄弟.

姓名	$y_1$	$\hat y_1$	($y_1 -\hat y_1$)
youge	1	0	1

则此时的 MSE = $(y_1 -\hat y_1)^2 = (1- \hat y_1)^2$

要计算 $\frac {\partial L}{\partial w_1}$ 根据网络的反向方向 (输出 -> 输入), 对应选取相应的中间变量, 这样能求出来呀. 根据求导链式法则:

$\frac {\partial L}{\partial w_1} = \frac {\partial L}{\partial \hat y_1} * \frac {\partial \hat y_1}{\partial w_1}$

由本例数据, 已知 $L = (1- \hat y_1)^2$ , 上面公式的第一部分就可以求出来了:

$\frac {\partial L} {\partial y_1} = \frac {\partial (1- \hat y_1)^2} {\partial y_1} = -2(1- \hat y_1)$

然后是 第二部分 $\frac {\partial \hat y_1}{\partial w_1}$ 观察图中的相关变量, 可看到 $h_1, h_2, o_1$ 分别表示该神经元的输出, 即:

$\hat y_1 = o_1 = f(w_5 h_1 + w_6 h_2 + b_3)$

继续向后传播....

而我们关心的是 $w_1$ , 看图中的线路就可知, w1 跟 h2 是没有关系的, 只跟 h1有关, 于是, 再来一波 求导链式法则

$\frac {\partial \hat y_1}{\partial w_1} = \frac {\partial \hat y_1} {\partial h_1} * \frac {\partial h_1}{\partial w_1} $

同样套路, 第一部分

$\frac {\partial \hat y_1} {\partial h_1} = \frac {f(w_5h_1 + w_6h2 + b_3)} {\partial h_1} = w_5 * [f'(w_5h_1 + w_6h2+b_3)]$

$f'(w_5h_1 + w_6h2+b_3)$ 这个其实就看作 f(x), 里面不论多少项, 都是该函数的自变量取值而已呀.

对 第二部分 也是一样滴处理

$\frac {\partial h_1}{\partial w_1} = \frac {f(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b_1)} {\partial w_1} = x_1 * [f'(w_1x_1 +w_2 x_2 + b_1)] $

终于走到输入值啦, 本例这里的 x_1 是身高, x_2 是体重. 这里的 f(x) 就是咱的 激活函数 (映射实值到0-1)

$f(x) = \frac {1}{1+e^{-x}}$

之前推导逻辑回归的时候, 也是用的这个函数哦, 当时有个技巧点是, 其求导为: $f(x)' = f(x)(1-f(x))$

利用分式求导法则:

$f(x)' = \frac {0 - (-e^{-x)}}{(1+e^{-x})^2}$

$= \frac {1}{1+e^{-x}} * \frac {e^{-x}}{1+e^{-x}}$

$=f(x)(1-f(x))$

这个结果在推导逻辑回归的时候, 非常重要的哦, 求一阶导和二阶导都要用到

小结上边的一波操作, 其实就是一个 求导的链式法则:

$\frac {\partial L}{\partial w_1} = \frac {\partial L}{\partial \hat y_1} * \frac {\partial \hat y_1}{\partial h_1} * \frac {\partial h_1}{\partial w_1}$

从网络的方向上来看呢, 是从 output -> input 这样的 反向误差传递, 这其实就是咱平时说的 BP算法, 而核心就是求导的链式法则而已呀.

所以嘛, 神经网络很多名词, 就是为了唬人, 当你扒开一看, 哦哦, 原来都只是用到一些基础的数学知识而已

case1: 计算偏导数(Link Rule)

输入(已中心化):

姓名	体重	身高	性别 (y)
youge	-2	5	1

输出比较

姓名	$y_i$	$\hat y_1$	($y_1 -\hat y_1$)
youge	1	0	1

同样, 为计算更加方便, 假设所有的权重为1, 所有的偏置为 0

$h_1 = f(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b_1)$

$= f(-2 + 5 + 0)$

$=f(3) = 0.952$

继续,

$h_2 = f(w_3x_1 + w_4 x_2 + b_2)$

$= f(-2 + 5 + 0) = h_1 = 0.952$

继续,

$o_1 = f(w_5h_1 + w_6h_2 + b3)$

$=f(0.952 + 0.952 + 0) = 0.871$

即本例的网络输出是 $\hat y_1 = 0.871$ 比较有倾向性的哦, 计算来算一下 $\frac {\partial L}{\partial w_1}$ 应用上面的结论.

$\frac {\partial L}{\partial w_1} = \frac {\partial L}{\partial \hat y_1} * \frac {\partial \hat y_1}{\partial h_1} * \frac {\partial h_1}{\partial w_1}$

同样分解为 3个部分:

$\frac {\partial L}{\partial \hat y_1} = -2(1- \hat y_1)$

$= -2(1-0.871)$

$=-0.258$

继续...

$ \frac {\partial \hat y_1}{\partial h_1} = \frac {f(w_5h_1 + w_6h2 + b_3)} {\partial h_1} = x_1 * [f'(w_5h_1 + w_6h2+b_3)]$

$=(-2) * f'(0.952 +0.952+0)$

$=(-2) * [f(1.904) \ f(1-1.904)]$

$= -0.502$

继续...

$\frac {\partial h_1}{\partial w_1} = \frac {f(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b_1)} {\partial w_1} = x_1 * [f'(w_1x_1 +w_2 x_2 + b_1)]$

$=(-2) * f'(-2 + 5 + 0)$

$= -2 *f'(3)$

$=-2 * f(3) \ f(1-3)$

$=-0.227$

因此

$\frac {\partial L}{\partial w_1} = (-0.258) * (-0.502) * (-0.227)$

$=-0.029$

意义: 随着 w_1 的增加, 损失 L 会随着减少.

随机梯度减小(SGD)

本质就是更新参数 w, 沿着 梯度的反方向微调一个步长, 直到算法收敛或者是随机选择一个样本, 每次做更迭,, 求解出最优的权重参数向量 w

$w \leftarrow w_1 - \alpha \ \frac {\partial L}{\partial w_1}$

这个 $\alpha$ 也称为学习率, 也就是步长呗, 或者速率都可以的, 理解上面这句话是最关键的.

为啥是沿着梯度的反向方, 这个涉及方向导数这一块的, 自己看大一的高数吧, 懒得解释了.

$\frac {\partial L}{\partial w_1}$ 偏导数大于0, 则说明要将 w_1 调小, 使得 L 变小
$\frac {\partial L}{\partial w_1}$ 偏导数小于0, 则说明要将 w_1 调大, 使得 L 变小

因为网络中有多个 w_i 嘛, 如果我们对每一个 w_i 都进行这样的优化, 则整个网络的损失则会不断下降, 也就意味着网络的预测性能在不断地上升.

训练过程

从数据集中随机选取一个样本, 用 SGD 进行优化, (每次只针对一个样本进行优化)
计算每个权重 w_i 和偏置 bias, ( 计算 $\frac {\partial L}{\partial w_1}, \frac {\partial L}{\partial w_2} ... b_1, b_2...$) 等
更新权重和bias
重复第一步 .... 直到将所有的样本遍历完

代码实现 - 完整的神经网络

姓名	体重	身高	性别 (y)
youge	-2	5	1
share	-5	-2	1
naive	-23	-11	0
beyes	30	8	0

从网上抄的代码, 这个难度不大代码, 就懒得写了, 学会抄, 和改, 我感觉是提升工作能力的必要能力.

import numpy as np

class Network:

    def __init__(self):

        # 本例的权重w

        self.w1 = np.random.normal()

        self.w2 = np.random.normal()

        self.w3 = np.random.normal()

        self.w4 = np.random.normal()

        self.w5 = np.random.normal()

        self.w6 = np.random.normal()

        # 偏置 bias

        self.b1 = np.random.normal()

        self.b2 = np.random.normal()

        self.b3 = np.random.normal()

    def sigmoid(self, x):

        """激活函数, 映射一个实值到 [0,1]"""

        return 1 / (1 + np.exp(-x))

    def der_of_sigmoid(self, x):

        """激活函数的导数"""

        f = self.sigmoid  # 地址引用

        return f(x) * (1 - f(x))

    @staticmethod

    def mes_loss(y_true, y_predict):

        """

        计算均方误差

        :param y_true, arr 真实样本值组成的array

        :param y_predict, arr 预测样本值组成的array

        :return: float, 总损失

        """

        return ((y_true - y_predict) ** 2).mean()

    def feedforward(self, arr):

        """前向算法, arr是一个2个特征的数组"""

        h1 = self.sigmoid(self.w1 * arr[0] + self.w2 * arr[1] + self.b1)

        h2 = self.sigmoid(self.w3 * arr[0] + self.w4 * arr[1] + self.b2)

        o1 = self.sigmoid(self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3)

    def train(self, data, all_y_true):

        """根据训练数据, 求解参数"""

        learn_rate = 0.1

        max_iter = 1000

        for i in range(max_iter):

            for x, y_true in zip(data, all_y_true):

                sum_h1 = self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1

                h1 = self.sigmoid(sum_h1)

                sum_h2 = self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2

                h2 = self.sigmoid(sum_h2)

                sum_o1 = self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3

                o1 = self.sigmoid(sum_o1)

                y_pred = o1

                d_L_d_ypred = -2 * (y_true - y_pred)

                # o1

                d_ypred_d_w5 = h1 * self.der_of_sigmoid(sum_o1)

                d_ypred_d_w6 = h2 * self.der_of_sigmoid(sum_o1)

                d_ypred_d_b3 = self.der_of_sigmoid(sum_o1)

                d_ypred_d_h1 = self.w5 * self.der_of_sigmoid(sum_o1)

                d_ypred_d_h2 = self.w6 * self.der_of_sigmoid(sum_o1)

                # h1

                d_h1_d_w1 = x[0] * self.der_of_sigmoid(sum_h1)

                d_h1_d_w2 = x[1] * self.der_of_sigmoid(sum_h1)

                d_h1_d_b1 = self.der_of_sigmoid(sum_h1)

                # h2

                d_h1_d_w3 = x[0] * self.der_of_sigmoid(sum_h2)

                d_h1_d_w4 = x[1] * self.der_of_sigmoid(sum_h2)

                d_h1_d_b2 = self.der_of_sigmoid(sum_h2)

                # 应用梯度下降, 更新 权重值 和 bias

                # h1

                self.w1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w1

                self.w2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w2

                self.b1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_b1

                # h2

                self.w3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w3

                self.w4 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w4

                self.b2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_b2

                # o1

                self.w5 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_ypred_d_w5

                self.w6 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_ypred_d_w6

                self.b3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_ypred_d_b3

                # 计算总的损失 Loss

                if i % 10 == 0:

                    y_preds = np.apply_along_axis(self.feedforward, 1, data)

                    loss = self.mes_loss(all_y_true, y_preds)

                    print("Epoch %d loss: %.3f" % (i, loss))

if __name__ == '__main__':

    # test

    data = np.array([

        [-2, 5],

        [-5, -2],

        [-23, -11],

        [30, 8]

    ])

    all_y_trues = np.array([1, 1, 0, 0])

    # 训练神经网络

    neework = Network()

    neework.train(data, all_y_trues)

没有debug 哦, 绝大部分都不是我自己的代码, 目的是做个笔记参考而已, 参考思路而非真正用这样而代码做生产.