CF1992E Novice's Mistake

Problem

Noobish_Monk 有 \(n\in [1,100]\) 个朋友。每个朋友都给了他 \(a\in [1,10000]\) 个苹果作为生日礼物。Noobish_Monk收到礼物后非常高兴，他把 \(b\in[1,\min\{10000,a\cdot n\}]\) 个苹果还给了朋友们。Noobish_Monk 还剩下多少个苹果？"

K1o0n 写了一个解法，但不小心把 \(n\) 的值看成了字符串，所以 \(n \cdot a - b\) 的值的计算方法不同。具体来说

当用字符串 \(n\) 乘以整数 \(a\) 时，他将得到字符串 \(s=\underbrace{n + n + \dots + n + n}_{a\ \text{times}}\)。
从字符串 \(s\) 中减去整数 \(b\) 时，将删除最后的 \(b\) 个字符。如果 \(b\) 大于或等于字符串 \(s\) 的长度，则字符串将变为空。

现在 ErnKor 想知道在给定的 \(n\) 中，有多少对 \((a, b)\) 满足问题的约束条件且 K1o0n 的解法给出了正确答案。

“解法给出了正确答案”意味着得到了一个非空字符串，且这个字符串转换成整数后等于正确答案，即 \(n \cdot a - b\) 的值。

\(1\le t\le 100,1\le n \le 100\)

Solution

一个粗浅的办法就是，枚举\(a\in[1,1000],b\in[1,\min\{10000,a\cdot n\}]\)，使用等比数列求和公式推式子，注意需要对于\(n\)的位数和\(b\)的值分类讨论。

但是由于 \(1\le t\le 100\) ，这个算法是过不去的。我发现答案是非常稀疏的，本来还想试试打表，但是被别人提醒了正解的方向，所以这个想法就搁置下来了（没必要了）。扔一份草稿在附录吧。

正解

我们规定，\(n * a-b\) 是指将 \(n\) 当作字符串重复 \(a\) 次再删去后 \(b\) 位，而 \(n\cdot a-b\) 是指数学意义上的乘法。\(|n|\) 指的是 \(n\) 的位数。

注意到 \(na-b\le 10^6\) ，这意味着 \(n*a-b\) 不能超过 \(6\) 位，也就是 \(1\le |n*a-b|\le6\) ，所以\(|n|\cdot a-6\le b\le |n|\cdot a-1\)。这样我们可以缩小 \(b\) 的枚举范围，只需要枚举 \(6a\) 次即可。

对于每一组 \((a,b)\) ，我们只需生成 \(n*a\) 的前 \(|n|\cdot a-b\) 位，判断其是否与 \(na-b\) 相等，即可做到快速判断 \(n*a-b=na-b\) 是否成立。

Code

vector<pair<int,int>>ans;

int main()

{

	int t=1;

	cin>>t;

	while(t--)

	{

		LL n;

		ans.clear();

		cin>>n;

		string nn=to_string(n);

		for(LL a=1;a<=10000;a++)

		{

			for(LL b=max(1ll,nn.size()*a-6);b<=nn.size()*a-1;b++)

			{

				string x;

				int wei=nn.size()*a-b;

				for(int i=0;i<wei;i++)

				{

					x.push_back(nn[i%nn.size()]);

				}

				if(x==to_string(n*a-b)) ans.push_back(make_pair(a,b));

			}

		}

		cout<<ans.size()<<endl;

		for(unsigned int i=0;i<ans.size();i++){

			cout<<ans[i].first<<" "<<ans[i].second<<endl;

		}

	}

	return 0;

}

Appendix

\(|n|=1\)

\[\begin{gather}
n * a-b=\frac{n\cdot10^{a-b}-n}9
\end{gather}
\]

\(|n|=2\)

若 \(b\) 为偶数：

\[\begin{gather}
n * a-b=\frac{n\cdot100^{a-\frac{b}{2}}-1}{99}
\end{gather}
\]

若 \(b\) 为奇数：

\[\begin{gather}
n * a-b=\frac{n\cdot100^{a-\frac{b+1}{2}}-1}{99}\times 10+[n的十位]
\end{gather}
\]

\(|n|=3\) 即 \(n=100\)

若 \(b\equiv 0 \pmod{3}\)

\[\begin{gather}
n * a-b=\frac{100\times1000^{a-\frac{b}{3}}-1}{999}
\end{gather}
\]

\(b\equiv 1 \pmod{3}\)

\[\begin{gather}
n * a-b=\frac{100\times1000^{a-\frac{b+2}{3}}-1}{999}\times 100 + 10
\end{gather}
\]

\(b\equiv 2 \pmod{3}\)

\[\begin{gather}
n * a-b=\frac{100\times1000^{a-\frac{b+1}{3}}-1}{999}\times 10+1
\end{gather}
\]