后缀数组（SA）及height数组

最近感觉自己越来越蒟蒻了……后缀数组不会，费用流不会……

看着别人切一道又一道的题，我真是很无奈啊……

然后，我花了好长时间，终于弄懂了后缀数组。

后缀数组是什么？

后缀SASASA数组

给你一个字符串，让你将每个后缀排序，就是一个后缀数组。

比如，字符串为ababa，就会搞出一个这样的东西：

a
aba
ababa
ba
baba
SA={4,2,0,3,1};

其中，每个后缀用开始的位置来表示。

rankrankrank数组

相当于逆着的SASASA，rank[sa[i]]=irank[sa[i]]=irank[sa[i]]=i

#后缀数组怎么求？

方法一：O(N3)O(N^3)O(N3)暴力

打个选择排序，每次比较用O(N)O(N)O(N)的方法。

当然，这样的暴力出不了奇迹。

方法二：O(N2lg⁡N)O(N^2\lg N)O(N2lgN)快排

仅仅是将选择排序变成快排罢了。

##方法三：倍增

倍增1.0

这就是本文的重点了！！！

想想其它的倍增是怎么做的，再想想字符串怎么倍增。

首先，给每个字符赋一个排名，像这样：

'a'->1
'b'->2

现在rank={1,2,1,2,1}

然后像下面的这幅图一样搞一搞。



倍增算法的精髓就在这幅图中。

枚举一个iii，对于每个位置jjj，每次将jjj和j+2ij+2^ij+2i合并到一起（不够补0），然后排名（可以当做是离散化）。

这样就可以求出rankrankrank，然后求出SASASA。

具体没什么好讲的，只要看懂这幅图，就懂了倍增算法的思想。

这样就可以优化到O(Nlg⁡2N)O(N\lg^2N)O(Nlg2N)了。

倍增2.0

然而，这不是倍增的极限。

可以用基数排序进一步地优化！！！

什么是基数排序，基数排序怎么打，请百度一下（基数排序可以用一维的数组来打，具体看代码实践）。

在此，我有意提醒的是，你可以将数看做一个m进制，在倍增合并两个数时，可以将其看做m进制的两位数，然后对它进行基数排序。

这样就有O(Nlg⁡N)O(N\lg N)O(NlgN)的时间复杂度了。

具体见代码。

DC3算法

笔者暂时不会……

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后缀数组怎么打？

后缀数组其实是比较好理解的，但是，为了追求完美，我们不应光靠自己的理解打模板。

因为自己打的有时会非常丑陋……

看了，理解的网上的标，综合我自己的风格，就打出了个这样的标：

int y[2000003],ws[2000003],wv[2000003];
void getSA(char s[],int rank[],int sa[],int n,int m)
{
	memset(ws,0,sizeof(int)*m);
	memset(y,255,sizeof y);
	memset(rank,255,sizeof rank);
	for (int i=0;i<n;++i)
		++ws[rank[i]=s[i]];
	for (int i=1;i<m;++i)
		ws[i]+=ws[i-1];
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		sa[--ws[rank[i]]]=i;
	for (int i=1;p<n;i<<=1,m=p)
	{
		p=0;
		for (int j=n-i;j<n;++j)
			y[p++]=j;
		for (int j=0;j<n;++j)
			if (sa[j]>=i)
				y[p++]=sa[j]-i;
		for (int j=0;j<n;++j)
			wv[j]=rank[y[j]];
		memset(ws,0,sizeof(int)*m);
		for (int j=0;j<n;++j)
			++ws[wv[j]];
		for (int j=1;j<m;++j)
			ws[j]+=ws[j-1];
		for (int j=n-1;j>=0;--j)
			sa[--ws[wv[j]]]=y[j];
		swap(rank,y);
		p=1;
		rank[sa[0]]=0;
		for (int j=1;j<n;++j)
			rank[sa[j]]=(y[sa[j-1]]==y[sa[j]] && y[sa[j-1]+i]==y[sa[j]+i]?p-1:p++);
	}

这就是网上通常的打法，当然，风格会有些不一样……

是不是看了后，一头雾水？

别急，慢慢解释。

首先说一下，在这个程序中，rankrankrank取值是在[0,n)[0,n)[0,n)范围内的，和上面那张图不一样！

	memset(ws,0,sizeof(int)*m);
	memset(y,255,sizeof y);
	memset(rank,255,sizeof rank);
	for (int i=0;i<n;++i)
		++ws[rank[i]=s[i]];
	for (int i=1;i<m;++i)
		ws[i]+=ws[i-1];
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		sa[--ws[rank[i]]]=i;

前面三行赋初值。

这是处理最开始的rankrankrank和sasasa，也就是还没有合并时。

wswsws数组是一个桶，用于辅助基数排序。

注意第三行rank[i]=s[i]。我们在实践的时候一开始不需要将真正的排名弄出来，我们只需知道它们的相对大小。而sis_isi​作为单个字符，是可以表示它们的相对大小的。

其它就没什么了，要理解好一维的基数排序！

for (int i=1,p=1;p<n;i<<=1,m=p)

iii表示的是对于一个位置jjj，在这一轮中要用jjj和j+ij+ij+i合并。

ppp表示不同的字符串的个数，初值设为111是为了循环条件p&lt;np&lt;np<n，显然1≥n1\geq n1≥n时就没必要做了。

为什么循环条件是p&lt;np&lt;np<n呢？因为我们发现，最后的rankrankrank数组一定是一个范围在[0,n)[0,n)[0,n)的排列。

所以ppp顶多为nnn，想想，当p=np=np=n时，那么其实已经排好序了，没必要再做下去，比如，可以看看上面那张图，可以发现最后一轮是没有必要的。

mmm表示的也是不同字符串的个数，只是因为在下面ppp要被用作计数器罢了。

		p=0;
		for (int j=n-i;j<n;++j)
			y[p++]=j;
		for (int j=0;j<n;++j)
			if (sa[j]>=i)
				y[p++]=sa[j]-i;

当初我看得最久的是这一段……

这其实是一个小优化。

yyy是一个临时的rankrankrank数组。

在合并后，其实第二关键字可以通过上一次的sasasa数组求出。

先看看二、三行。显然，[n−i,n)[n-i,n)[n−i,n)这段区间内，如果要和后面的合并，只能补000，应该说是补−1-1−1，因为rankrankrank数组在这个程序中的取值是[0,n)[0,n)[0,n)。

−1-1−1一定是最小的，所以先把它们排在前面。

然后看倒数三行，这个就比较难理解了。

对于位置jjj，在这一轮中会对j−ij-ij−i有影响，所以说，j−i≥0j-i \geq 0j−i≥0

因为sasasa是有序的，所以我们顺序枚举sajsa_jsaj​，将其中满足以上条件的加入yyy中。

		for (int j=0;j<n;++j)
			wv[j]=rank[y[j]];
		memset(ws,0,sizeof(int)*m);
		for (int j=0;j<n;++j)
			++ws[wv[j]];
		for (int j=1;j<m;++j)
			ws[j]+=ws[j-1];
		for (int j=n-1;j>=0;--j)
			sa[--ws[wv[j]]]=y[j];

这一段的作用就是以第一关键字来进行一次基数排序，和上面的那个一样的道理。

		swap(rank,y);
		p=1;
		rank[sa[0]]=0;
		for (int j=1;j<n;++j)
			rank[sa[j]]=(y[sa[j-1]]==y[sa[j]] && y[sa[j-1]+i]==y[sa[j]+i]?p-1:p++);

ppp起到计数器的作用。

重点是最后一行y[sa[j-1]]==y[sa[j]] && y[sa[j-1]+i]==y[sa[j]+i]

这是在比较saj−1sa_{j-1}saj−1​和sajsa_jsaj​是否相等。如果相等，那么rankrankrank值应该要一样（不过注意，到最后时rankrankrank值一定是不同的！）

网上的标这样比较，就不怕爆掉吗？对此，我很不理解，只是开了两倍的数组来解决这个问题。

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关于LCP

一些概念

LCP(i,j)LCP(i,j)LCP(i,j)表示suffix(i)suffix(i)suffix(i)和suffix(j)suffix(j)suffix(j)的公共最长前缀。

height(i)=LCP(SA[i−1],SA[i])height(i)=LCP(SA[i-1],SA[i])height(i)=LCP(SA[i−1],SA[i])

很明显，若ranki&lt;rankjrank_i&lt;rank_jranki​<rankj​，则

LCP(i,j)=min⁡k∈(ranki,rankj]heightkLCP(i,j)=\min_{k\in \left(rank_i,rank_j \right]}{height_k}LCP(i,j)=k∈(ranki​,rankj​]min​heightk​

如何求heightheightheight?

首先，我们要知道一个性质：

设hi=heightrankih_i=height_{rank_i}hi​=heightranki​​，也就是suffix(i)suffix(i)suffix(i)与它前一名的最长公共前缀。

那么hi≥hi−1−1h_i\geq h_{i-1}-1hi​≥hi−1​−1

证明：

设suffix(k)suffix(k)suffix(k)表示suffix(i−1)suffix(i-1)suffix(i−1)前一名的后缀，hi−1h_{i-1}hi−1​即是它们的最长公共前缀。

当hi−1≤1h_{i-1} \leq 1hi−1​≤1时，显然等式成立。

当hi−1&gt;1h_{i-1} &gt;1hi−1​>1时，可以发现suffix(k+1)suffix(k+1)suffix(k+1)和suffix(i)suffix(i)suffix(i)的公共后缀至少为hi−1−1h_{i-1}-1hi−1​−1。可以画张图理解一下。

所以，综上，hi≥hi−1−1h_i\geq h_{i-1}-1hi​≥hi−1​−1

利用这个性质，我们可以在O(N)O(N)O(N)的时间内求出heightheightheight数组

代码

void getheight(char s[],int rank[],int sa[],int height[])
{
	for (int i=0,k=0;i<n;++i)
		if (rank[i])
		{
			if (k)
				--k;
			int j=sa[rank[i]-1];
			while (s[i+k]==s[j+k])
				++k;
			height[rank[i]]=k;
		}
}

其实不必真正地构出个hhh数组。

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其它

建议数组从111开始，或者将rankrankrank及辅助数组yyy初值设为−1-1−1，因为在比较时，后面的要补000（或−1-1−1），我就因为这样调了很久……（被罗穗骞大佬的论文坑了）