CF850E Random Elections

题意：一共有n个人，要在三个人中选prefer，一开始他们心中都会想好他们的排名（共6种），之后给出的判断不会矛盾。规则如下：一共有三轮，分别是a->b,b->c,c->a，每个人选1，表示prefer前者，选0表示prefer后者。这样形成一个n位的二进制x。定义函数f(x)={0，1}：1表示这一轮中前者赢，0表示后者赢。

有性质：f(x^((1<<n)-1))=1-f(x)。

现在给出f的对应值表，问其中一个人完胜（赢>=2局）的概率*6^n？n<=20。

标程：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int mod=1e9+;
 typedef long long ll;
 const int N=;
 int n;
 ll ans,f[N],x[N];
 void fwt()
 {
     for (int i=;i<n;i++)
       for (int j=;j<(<<n);j++)
         if (!(j&(<<i)))
         {
             ll l=f[j],r=f[j|(<<i)];
             f[j]=l+r,f[j|(<<i)]=l-r;
          }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);char c=getchar();
     while (c<''||c>'') c=getchar();
     for (int i=;i<(<<n);i++) f[i]=c-'',c=getchar();
    fwt();
    for (int i=;i<(<<n);i++) f[i]=f[i]*f[i];
    fwt();
    for (int i=;i<(<<n);i++) f[i]=f[i]>>n;
    x[]=;
    for (int i=;i<(<<n);i++) x[i]=x[i>>]<<(i&);//递推求2^popcount(i)
    for (int i=;i<(<<n);i++)
      ans=((ll)ans+(ll)f[i]*x[i^((<<n)-)]%mod)%mod;
    printf("%d\n",(ll)ans*%mod);
     return ;
 }

易错点：1.有一点地方少开ll了啊啊啊。低级错误。

题解：fwt

写fwt的时候用a[i^j]=sigma(b[i]*c[j])来理解比较容易。

举其中一个人来看，设有关其的两轮他都赢（以下称作A,B），即有一个0一个1的结果（与题目中国的顺序对应）。（最后方案数*3，有三个人）

不能让喜爱排名矛盾，那么我们可以在A，B轮中任意，由此第三轮一些位置固定，一些位置不固定l个，*2^l即可。

运用题目中给的性质，一个0一个1的结果不好处理，但可以与两个1的情况通过一次取反唯一对应。于是可以用fwt统计方案数。由于是按位异或，答案下标的二进制表示中有几个0，即是有几个数不固定。