[CF1303G] Sum of Prefix Sums - 点分治,李超线段树

给定一棵 \(n\) 个点的带点权的树，求树上的路径 \(x_1,...,x_k\) ，最大化 \(\sum_{i=1}^k ia_{x_i}\)

Solution

树上路径问题可用点分治。

考虑如何合并两条路径对每条路径，记 \(l\) 为长度（点数），\(v\) 为 \(\sum_{i=1}^l ia_{x_i}\) ，\(s\) 为 \(\sum a_i\) ，那么对于两条路径 \((l_1,v_1,s_1),(l_2,v_2,s_2)\)，它们的并为 \((l_1+l_2-1,v_1+s_1l_2+v_2,s_1+s_2)\)

于是答案为 \(v_1 + v_2 + s_1l_2\)，其中 \(_1\) 是和之前扫描过的有关的信息，\(_2\) 是和当前正在扫描的位置有关的信息

（之所以这样取的原因是，之后李超线段树中我们需要控制下标的区间，而 \(l\) 的范围是较小的）

对于某一次查询来说，\(v_2\) 是定值，于是查询只有一个参数 \(l_2\) ，所以现在我们要最大化 \(l_2s_1 + v_1\)，不妨转化为

• 插入一条直线 \(y=ax+b\)，其中 \(a=s_1,b=v_1\)
• 询问 \(x=l_2\) 与所有直线交点中最上面的那一个

标准的李超线段树模板

我又把点分敲错，数组开小

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

const bool dbg = 0;

namespace seg {
const int N = 4e6+5;
#define lc x<<1
#define rc x<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
struct Node {
    int a,b;
} tree[N];
void ins(int x,int l,int r,int a,int b) {
    if(tree[x].a*l+tree[x].b<=a*l+b&&tree[x].a*r+tree[x].b<=a*r+b)  {
        tree[x].a=a,tree[x].b=b;
    }
    else {
        if(tree[x].a*l+tree[x].b>=a*l+b&&tree[x].a*r+tree[x].b>=a*r+b) return;
        if(tree[x].a*mid+tree[x].b<a*mid+b)swap(tree[x].a,a),swap(tree[x].b,b);
        if(a<tree[x].a)ins(lc,l,mid,a,b);
        else ins(rc,mid+1,r,a,b);
    }
}
void build(int x,int l,int r) {
    tree[x].a=tree[x].b=0;
    if(l==r)return;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
}
int query(int x,int l,int r,int p) {
    int ans=tree[x].a*p+tree[x].b;
    if(l==r)return ans;
    if(p<=mid)ans=max(ans,query(lc,l,mid,p));
    else ans=max(ans,query(rc,mid+1,r,p));
    return ans;
}
};

int tot;
const int N = 300005;
int n,val[N],siz[N],vis[N],mx[N],fa[N],l[N],v[N],s[N],sz,ans;
vector <int> g[N],sta;

void dfs(int p) {
    siz[p]=1;
    mx[p]=0; //!!!
    sta.push_back(p);
    for(int q:g[p]) if(fa[p]!=q && !vis[q]) {
        fa[q]=p;
        dfs(q);
        siz[p]+=siz[q];
        mx[p]=max(mx[p],siz[q]);
    }
}

void dfs1(int p) {
    if(dbg) cout<<"   dfs1 "<<p<<" "<<l[p]<<" "<<v[p]<<" "<<s[p]<<endl;
    seg::ins(1,1,sz,s[p],v[p]);
    for(int q:g[p]) if(fa[p]!=q && !vis[q]) {
        l[q]=l[p]+1;
        s[q]=s[p]+val[q];
        v[q]=v[p]+l[q]*val[q];
        dfs1(q);
    }
}

void dfs2(int p) {
    if(dbg) cout<<"   dfs2 "<<p<<" "<<l[p]<<" "<<v[p]<<" "<<s[p]<<endl;
    ans=max(ans,seg::query(1,1,sz,l[p])+v[p]);
    if(dbg) cout<<"    ans="<<ans<<endl;
    for(int q:g[p]) if(fa[p]!=q && !vis[q]) {
        l[q]=l[p]+1;
        s[q]=s[p]+val[q];
        v[q]=v[p]+s[q];
        dfs2(q);
    }
}

void solve(int p) {
    fa[p]=0;
    sta.clear();
    dfs(p);
    for(int q:sta) mx[q]=max(mx[q],(int)sta.size()-siz[q]);
    int r=0,mv=1e9;
    for(int q:sta) if(mv>mx[q]) r=q, mv=mx[q];
    vis[r]=1;
    for(int q:sta) fa[q]=0;
    dfs(r); //!!!
    if(dbg) cout<<"solve "<<r<<endl;
    sz=sta.size();
    if(dbg) cout<<" round I"<<endl;
    seg::build(1,1,sz);
    l[r]=1; s[r]=val[r]; v[r]=val[r];
    if(dbg) cout<<" "<<l[r]<<" "<<s[r]<<" "<<v[r]<<endl;
    seg::ins(1,1,sz,s[r],v[r]);
    for(int i=0;i<g[r].size();i++) {
        int q=g[r][i];
        if(vis[q]) continue;
        if(dbg) cout<<"  subtree "<<q<<endl;
        l[q]=1;
        v[q]=val[q];
        s[q]=val[q];
        dfs2(q);
        l[q]=2;
        v[q]=val[r]+val[q]*2;
        s[q]=val[r]+val[q];
        dfs1(q);
    }
    ans=max(ans,seg::query(1,1,sz,0));
    if(dbg) cout<<"    ans="<<ans<<endl;
    seg::build(1,1,sz);
    if(dbg) cout<<" round II"<<endl;
    for(int i=g[r].size()-1;i>=0;--i) {
        int q=g[r][i];
        if(vis[q]) continue;
        if(dbg) cout<<"  subtree "<<q<<endl;
        l[q]=1;
        v[q]=val[q];
        s[q]=val[q];
        dfs2(q);
        l[q]=2;
        v[q]=val[r]+val[q]*2;
        s[q]=val[r]+val[q];
        dfs1(q);
    }
    for(int q:g[r]) if(!vis[q]) solve(q);
}

signed main() {
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    //ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int t1,t2;
        cin>>t1>>t2;
        g[t1].push_back(t2);
        g[t2].push_back(t1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>val[i];
    solve(1);
    cout<<ans<<endl;
}

一杯茶一包烟，一个破题调一天