Luogu P3802 小魔女帕琪(期望)

P3802 小魔女帕琪

题意

题目背景

从前有一个聪明的小魔女帕琪，兴趣是狩猎吸血鬼。

帕琪能熟练使用七种属性（金、木、水、火、土、日、月）的魔法，除了能使用这么多种属性魔法外，她还能将两种以上属性组合，从而唱出强力的魔法。比如说为了加强攻击力而将火和木组合，为了掩盖弱点而将火和土组合等等，变化非常丰富。

题目描述

现在帕琪与强大的夜之女王，吸血鬼蕾咪相遇了，夜之女王蕾咪具有非常强大的生命力，普通的魔法难以造成效果，只有终极魔法：帕琪七重奏才能对蕾咪造成伤害。帕琪七重奏的触发条件是：连续释放的\(7\)个魔法中，如果魔法的属性各不相同，就能触发一次帕琪七重奏。

现在帕琪有\(7\)种属性的能量晶体，分别为\(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7\)(均为自然数)，每次释放魔法时，会随机消耗一个现有的能量晶体，然后释放一个对应属性的魔法。

现在帕琪想知道，她释放出帕琪七重奏的期望次数是多少，可是她并不会算，于是找到了学\(OI\)的你。

输入输出格式

输入格式：

一行\(7\)个数字，\(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7\)。

输出格式：

一个四舍五入保留\(3\)位的浮点数

输入输出样例

输入样例#1：

1 1 1 1 1 1 1

输出样例#1：

1.000

说明

样例说明:

显然一定会触发一次帕琪七重奏。

数据范围:

对于\(30\%\)的测试点，\(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7<=10\)

对于\(100\%\)的测试点，\(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7<=10^9\)

思路

翻译一下这个\(fancy\)的题面：

求在一个由\(a1\)个\(1\)，\(a2\)个\(2\)，\(a3\)个\(3\)，\(a4\)个\(4\)，\(a5\)个\(5\)，\(a6\)个\(6\)，\(a7\)个\(7\)组成的一个数列中，出现\(1\sim 7\)的全排列的次数期望。

首先设\(sum=\Sigma^7_{i-1}a_i\)。数列的第一个数为\(1\)的概率为\(\frac{a_1}{sum}\)，第二位数为\(2\)的概率为\(\frac{a_2}{sum}\)...那么前七个数为\(1,2,3,4,5,6,7\)的概率就是：

\[\frac{\Pi_{i=1}^{7}a_i}{\Pi_{j=0}^6(sum-j)}
\]

\(1\sim 7\)的全排列一共有\(7!\)种，所以前七个数为\(1\sim 7\)的全排列的概率就是：

\[\frac{7!\times \Pi_{i=1}^{7}a_i}{\Pi_{j=0}^6(sum-j)}
\]

不从第一位开始，其实从第\(i\)位开始的七个数为\(1\sim 7\)的全排列的概率都是上面那个式子。所以最后的总期望就是：

\[\frac{7!\times \Pi_{i=1}^{7}a_i}{\Pi_{j=0}^6(sum-j)}\times (sum-6)
\]

约分一下：

\[\frac{7!\times \Pi_{i=1}^{7}a_i}{\Pi_{j=0}^5(sum-j)}
\]

这就是答案。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
LD a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,sum,ans;
int main()
{
    cin>>a1>>a2>>a3>>a4>>a5>>a6>>a7;
    if(!a1||!a2||!a3||!a4||!a5||!a6||!a7) goto flag;
    sum=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7;
    ans=LD(5040)/sum*a1/(sum-LD(1))*a2/(sum-LD(2))*a3/(sum-LD(3))*a4/(sum-LD(4))*a5/(sum-LD(5))*a6/(sum-LD(6))*a7*(sum-6);
    flag:
    cout<<fixed<<setprecision(3)<<ans;
    return 0;
}