UVA - 1451 Average （斜率优化）

题意：由01组成的长度为n的子串，AT由0表示，GC由1表示，求一段长度大于等于L且GC率最高的子串的起始终止坐标，若GC率相同，取长度较小，若长度相同，取起始坐标最小。

分析：

1、一个子串(i+1,j)的GC率为(sum[j] - sum[i]) / (j - i)，sum[j]为前缀和

上式可以理解为点(i, sum[i])与点(j, sum[j])的斜率表达式。

因此问题可转化为求横坐标之差大于等于L的两点所组成的直线斜率的最大值。

2、https://wenku.baidu.com/view/b97cd22d0066f5335a8121a3.html?from_page=view&from_mod=download

上述论文可知，任何一个点P_t的检查集合中，不可能存在一个对最优结果有贡献的上凸点，因此我们可以删去每一个上凸点，剩下的则是一个下凸折线。

3、利用单调性求过检查点Pt与下凸折线相切的直线，从而得到当前右端点下最优的左端点。

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#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<cmath>
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#include<iterator>
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#include<stack>
#include<deque>
#include<queue>
#include<list>
#define lowbit(x) (x & (-x))
const double eps = 1e-8;
inline int dcmp(double a, double b){
    if(fabs(a - b) < eps) return 0;
    return a > b ? 1 : -1;
}
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int INT_INF = 0x3f3f3f3f;
const int INT_M_INF = 0x7f7f7f7f;
const LL LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const LL LL_M_INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int dr[] = {0, 0, -1, 1, -1, -1, 1, 1};
const int dc[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1.0);
const int MAXN = 100000 + 10;
const int MAXT = 10000 + 10;
using namespace std;
char s[MAXN];
int sum[MAXN];
deque<int> q;
int judge(int a, int b, int c, int d){
    return (sum[a] - sum[b]) * (c - d) - (sum[c] - sum[d]) * (a - b);
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        memset(sum, 0, sizeof sum);
        q.clear();
        int n, L;
        scanf("%d%d", &n, &L);
        scanf("%s", s + 1);
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            sum[i] = sum[i - 1] + s[i] - '0';
        }
        int ansl = 0, ansr = L;//最优区间初始化为(1,L)
        for(int i = L; i <= n; ++i){//枚举右端点
            int p = i - L;
            while(q.size() > 1){//维护下凸折线
                int tmpj = q[q.size() - 1];
                int tmpk = q[q.size() - 2];
                if(judge(tmpj, tmpk, p, tmpj) > 0){//上凸
                    q.pop_back();
                }
                else{
                    break;
                }
            }
            q.push_back(p);//在右端加入新的点
            while(q.size() > 1){//找与下凸折线的切点
                if(judge(i, q[0], i, q[1]) <= 0){
                    q.pop_front();
                }
                else break;
            }
            int tmp = judge(i, q[0], ansr, ansl);
            if(tmp > 0 || (tmp == 0 && i - q[0] < ansr - ansl)){
                ansl = q[0];
                ansr = i;
            }
        }
        printf("%d %d\n", ansl + 1, ansr);
    }
    return 0;
}