题目链接:https://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/106

这个题是关于EXGCD特别好的一个题目。题目大意:有一个等式ax+by+c=0,输入a,b,c以及a的范围l1,r1和b的范围l2,r2,输出满足方程的整数解的个数。

题解:

  ax+by+c=0。对这个方程,首先考虑特殊情况:

1,a=0&&b=0&c=0,任意一个x和y都可以满足,所以答案为(r1-l1+1)*(r2-l2+1)

2,a=0&&b=0,直接输出0

3,a=0,方程转换为by=-c,判断c是否为b的倍数,不是的话直接输出0。是的话在判断y的范围,如果在(l2,r2)中,答案就是(r1-l1+1)b=0同理。

4,ax+by=-c。尽量让a和b都大于0。如果说a<0的话 那么将a变为正,再改变一下a的取值范围就好了,b大概差不多。将c移过去,并尽量保证-c大于等于0

5,ax+by=c,用exgcd求解。首先如果c不是gcd(a,b)的倍数,无解。否则将方程转换为a1x+b1y=c1。a1=a/gcd(a,b),b,c同理。用exgcd可以求出x的解集为x0+kb,y的解集为y0-ka。然后根据范围求k的取值范围。

6,求范围时会用到两个函数floor和ceil。其中floor表示向上取整如果4.9--4(小于4.9的最大整数),ceil为向下取整,3.1---4大于3.1的最大整数。然后上界取小,下界取大即可。

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {
return b == ? a : gcd(b, a % b);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if (b==){
x=,y=;
return a;
}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main()
{
ll a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
c=-c;
ll l1, r1, l2, r2;
cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
if (c < ) {
c = -c; a = -a; b = -b;
}
if (a < ) {
a = -a; l1 = -l1; r1 = -r1; swap(l1, r1);
}
if (b < ) {
b = -b; r2 = -r2; l2 = -l2; swap(r2, l2);
}
if (a == && b == && c == ){
cout << (r1 - l1 + ) * (r2 - l2 + ) << endl;
return ;
}
else if (a == && b == ) { cout << << endl; return ; }
else if (b == ) {
if (c % b == && (-c) / b <= r2 && (-c) / b >= l2) cout << r1 - l1 + << endl;
else cout << << endl;
return ;
}
else if (a == ) {
if (c % a == && (-c) / a <= r1 && (-c) / a >= l1) cout << r2 - l2 + << endl;
else cout << << endl;
return ;
}
ll d = gcd(a, b);
if (c % d != ) puts("");
else {
ll x,y;
// c=-c;
a/=d;b/=d;c/=d;
exgcd(a,b,x,y);
x=x*c;y=y*c;
// cout<<a<<"--"<<b<<"=="<<c<<"--"<<d<<"==="<<x<<"--"<<y<<endl;
double rr1,ll1,rr2,ll2;
rr1=double(r1);ll1=double(l1);
rr2=double(r2);ll2=double (l2);
ll upx=floor((rr1-x)/b),downx=ceil((ll1-x)/b);
ll upy=floor((y-ll2)/a),downy=ceil((y-rr2)/a);
ll ans=min(upx,upy)-max(downx,downy)+;
cout<<(ans<? :ans)<<endl;
}
return ;
}

补充Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)的知识:

证明:ax+by=gcd(a,b)k。先计算ax+by=gcd(a,b),求解后再成k即可。

        bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)。

   a%b=a-(a/b)*b(这里的除为整数除法)

 带入拆开得bx+ay-(a/b)*by=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=ax+by,然后对应相等,x=y,y=x-(a/b)*b*y

求出的解的集合就是x:x0+kb,y:y0-ka

exgcd code:

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==) {x=,y=}
else {
exgcd(a,b,x,y);
int t=x;
x=y;y=t-a/b*y;
}
}

Exgcd还可以用来求解逆元。证明过程用到了同余方程即ax%b=c,也可记为ax=c(modb)当c等与1时,x就是a的逆元。

求解过程:ax-b*y=1,带入exgcd中,x就是a的逆元,要求就是a和b必须互质。

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