POJ - 2763 Housewife Wind (树链剖分/ LCA+RMQ+树状数组)

题意：有一棵树，每条边给定初始权值。一个人从s点出发。支持两种操作：修改一条边的权值；求从当前位置到点u的最短路径。

分析：就是在边可以修改的情况下求树上最短路。如果不带修改的话，用RMQ预处理LCA即可。

在静态版本的LCA问题上，用树状数组维护一条边在dfs序中表示的一段区间。为什么是一段区间，因为求该边之下的任意一点到根节点的距离都必须经过这条边。

用树状数组差分前缀和的方式维护区间修改。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 100005
struct Edge{
    int to,next,id;
}edge[maxn<<];

int n,a[maxn],head[maxn],dep[maxn<<],cnt,pos[maxn],dfs_seq[maxn<<],dfn,f[maxn<<][];
int W[maxn],L[maxn],R[maxn],dfs_clock,C[maxn],G[maxn];

inline void add(int u,int v,int id)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    edge[cnt].id=id;
    head[u]=cnt++;
}

inline int lowbit(int x){return (x)&(-x);}

void init()
{
    memset(head,-,sizeof(head));
    memset(pos,-,sizeof(pos));
    memset(C,,sizeof(C));
    cnt=dfn=;
    dfs_clock=;
}

void dfs(int u,int deep)
{
    dfs_seq[dfn]=u,dep[dfn]=deep,pos[u]=dfn++;
    L[u]=++dfs_clock;
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if(pos[v]==-){
            G[edge[i].id]=v;
            dfs(v,deep+);
            dfs_seq[dfn]=u,dep[dfn++]=deep;
        }
    }
    R[u]=dfs_clock;
}

void init_RMQ(int n)
{
    for(int i=;i<=n;++i) f[i][]=i;
    for(int j=;(<<j)<=n;++j)
        for(int i=;i+(<<j)-<=n;++i){
            if(dep[f[i][j-]]<dep[f[i+(<<(j-))][j-]]) f[i][j]=f[i][j-];
            else f[i][j]=f[i+(<<(j-))][j-];
        }
}

inline int RMQ(int L,int R)
{
    int k=;
    while(<<(k+)<=R-L+) ++k;
    if(dep[f[L][k]]<dep[f[R-(<<k)+][k]]) return f[L][k];
    return f[R-(<<k)+][k];
}

inline int lca(int u,int v)
{
    if(pos[u]>pos[v]) return dfs_seq[RMQ(pos[v],pos[u])];
    return dfs_seq[RMQ(pos[u],pos[v])];
}

inline void update(int i,int x)
{
    for(;i<=n;i+=lowbit(i)) C[i]+=x;
}

inline int sum(int i)
{
    int s=;
    for(;i>;i-=lowbit(i)) s+=C[i];
    return s;
}

int main()
{
    int i,u,v,k,q,w,s;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&q,&s)){
        init();
        for(i=;i<n;++i){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,i);
            add(v,u,i);
            W[i]=w;
        }
        dfs(,);
        init_RMQ(dfn-);
        u=s;

        for(i=;i<n;++i){
            update(L[G[i]],W[i]);
            update(R[G[i]]+,-W[i]);
        }

        while(q--){
            scanf("%d",&k);
            if(k){
                scanf("%d%d",&u,&w);
                update(L[G[u]],w-W[u]);
                update(R[G[u]]+,-w+W[u]);
                W[u]=w;
            }
            else{
                scanf("%d",&v);
                printf("%d\n",sum(L[s])+sum(L[v])-*sum(L[lca(s,v)]));
                s=v;
            }
        }
    }
    return ;
}

树链剖分的方法也类似。剖出轻重链之后，可以快速求解lca，并用树状数组维护边的信息，同样是用差分的方式。

通常树链剖分维护的是树上点的信息，但本题可以用每条边在dfs树上的后继点来表示该边。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn =1e5+;
struct Edge{
    int to,next;
}E[*maxn];
int n,head[maxn],tot;
int idx,size[maxn],fa[maxn],son[maxn],dep[maxn],top[maxn],l[maxn],r[maxn];
int edge[maxn][];
int bit[maxn];

void init()
{
    idx=tot=;
    memset(head,-,sizeof(head));
    dep[]=,fa[]=,size[]=;
    memset(son,,sizeof(son));
}
void AddEdge(int u,int v)
{
    E[tot] = (Edge){v,head[u]};
    head[u]=tot++;
}
void dfs1(int u)
{
    size[u]=;
    for(int i=head[u];~i;i=E[i].next){
        int v=E[i].to;
        if(v!=fa[u]){
            fa[v]=u;
            dep[v]=dep[u]+;
            dfs1(v);
            size[u]+=size[v];
            if(size[son[u]]<size[v]) son[u]=v;
        }
    }
}

void dfs2(int u,int topu)
{
    top[u]= topu;
    l[u] = ++idx;
    if(son[u]) dfs2(son[u],top[u]);
    for(int i=head[u];~i;i=E[i].next){
        int v=E[i].to;
        if(v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);
    }
    r[u] = idx;
}

void add(int pos,int val){
    for(int i=pos;i<=n;i+= i&(-i)) bit[i]+=val;
}

inline int sum(int pos){
    int res=;
    for(int i=pos;i;i-= i&(-i)) res+=bit[i];
    return res;
}

int lca(int u,int v){
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        u = fa[top[u]];
    }
    return dep[u]<dep[v] ? u:v;
}

int dist(int u,int v){
    return sum(l[u])+sum(l[v]) - *sum(l[lca(u,v)]);
}

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
        freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    int q,s,op,u,v,w;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&q,&s)==){
        init();
        memset(bit,,sizeof(bit));
        for(int i=;i<n;++i){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            AddEdge(u,v);
            AddEdge(v,u);
            edge[i][] = u,edge[i][] =v,edge[i][] =w;
        }
        dfs1();
        dfs2(,);
        for(int i=;i<n;++i){
            if(dep[edge[i][]]>dep[edge[i][]]) swap(edge[i][],edge[i][]);
            v = edge[i][];
            add(l[v],edge[i][]);
            add(r[v]+,-edge[i][]);
        }

        while(q--){
            scanf("%d",&op);
            if(op==){
                scanf("%d",&u);
                printf("%d\n",dist(s,u));
                s = u;
            }
            else{
                int k;
                scanf("%d%d",&k,&w);
                v = edge[k][];
                add(l[v],w-edge[k][]);
                add(r[v]+,-w+edge[k][]);
                edge[k][] =w;
            }
        }
    }
    return ;
}