手撕B树 | 二三查找树，B+树B*树你都会了吗？ | 超详细的数据结构保姆级别实现

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说在前面

今天给大家带来B树系列数据结构的讲解！

博主为了这篇博客，做了很多准备，试了很多画图软件，就是为了让大家看得明白！希望大家不要吝啬一键三连啊！！

前言

那么这里博主先安利一下一些干货满满的专栏啦！

手撕数据结构https://blog.csdn.net/yu_cblog/category_11490888.html?spm=1001.2014.3001.5482这里包含了博主很多的数据结构学习上的总结，每一篇都是超级用心编写的，有兴趣的伙伴们都支持一下吧！
算法专栏https://blog.csdn.net/yu_cblog/category_11464817.html这里是STL源码剖析专栏，这个专栏将会持续更新STL各种容器的模拟实现。

STL源码剖析https://blog.csdn.net/yu_cblog/category_11983210.html?spm=1001.2014.3001.5482

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为什么我们需要B树

目前学习了这么多数据结构，我们可以了解到的搜索结构如下表所示：

种类	数据格式	时间复杂度
顺序查找	无要求	O(n)
二分查找	有序	O(logn)
二叉搜索树	无要求	O(logn) 最坏:O(n)
二叉平衡搜索树	无要求	O(logn)
哈希	无要求	O(1)

以上结构适合用于数据量相对不是很大，能够一次性存放在内存中，进行数据查找的场景。如果
数据量很大，比如有100G数据，无法一次放进内存中，那就只能放在磁盘上了，如果放在磁盘
上，有需要搜索某些数据，那么如果处理呢？那么我们可以考虑将存放关键字及其映射的数据的
地址放到一个内存中的搜索树的节点中，那么要访问数据时，先取这个地址去磁盘访问数据。

例子：

假设我们用一棵二叉平衡搜索树存储10亿个数据。由于数据太多太大（key太大），我们内存中是存不下的，因此我们节点里面存的是数据在磁盘中的地址。由于我们在查找一个数的时候，是需要对比的，但是我们的key值其实没有存储在内存中，因为我们需要进行一次IO，到磁盘中，我们才能完成对比。10亿个数据，即30层左右的平衡树。

如果我们查找一个数字，需要30次IO，这个时间消耗是巨大的！现在我们认为，同样是10亿个数据，我只想进行2~3次IO，怎么办？我们需要压缩高度！

如何压缩搜索树的高度？

• 二叉变多叉
• 一个节点存多个key的地址

B树概念

一棵m阶(m>2)的B树，是一棵平衡的M路平衡搜索树，可以是空树或者满足一下性质：

1. 根节点至少有两个孩子
2. 每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m （ceil是向上取整函数）
3. 每个叶子节点都包含k-1个关键字，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m
4. 所有的叶子节点都在同一层
5. 每个节点中的关键字从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分
6. 每个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）其中，Ki(1≤i≤n)为关键字，且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1。n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。

其实我们熟知的二三查找树，就是一棵三阶的B树。虽然我们今天重点要学习的是B树，但是其实在日常使用中，B+树才是最常用的。

当然光看文字，我们肯定是比较难以理解的，因此，博主将用插入的形式，慢慢给大家解释上面的规则。

B树的插入

B树的插入的核心，就是节点的分裂。

注意：插入节点一定是在叶子上插入！为什么？请看下面详细插入过程。

下面我们用序列[53,139,75,49,145,36,50,47,101]来给大家进行解释。（设B树阶数 M == 3）

• 插入节点53

由于在一个节点中，孩子比关键字的数量多一个，所以上述结构我们就可以很好的理解了。

此时，M==3，而我们却画了4个孩子的空间，这是为什么？这其实是为了简化我们在实现B树分裂过程的代码，这里我们就先保留这个疑问，等博主介绍完插入，我们自然就明白了！

• 插入节点139

由于性质5，所以我们在每一个节点中，key值都是递增的，所以139插入到53的后面。此时我们还是满足B树的性质的，一个节点并没有满。因此当前阶段，我们不需要分裂。

• 插入节点75

插入75之后，我们发现，key的数量已经超过了规定的最大数量（3-1=2个），因此，此时我们要进行分裂。

此时我们已经可以发现，为什么我们要多开一个key和孩子的节点位置。因为这样，我们可以先把节点插入进来，再判断节点是否满，是否需要分裂。如果不开多一个位置，我们都不知道怎么去分裂了，因为一插入就越界了。 

• 插入节点49

• 插入节点145 

•  插入节点36

 插入36之后，我们发现我们需要分裂了，因此像刚刚一样，完成一次分裂即可。

• 插入节点101

此时是一个连续分裂的过程

看到这里，相信大家已经对B树是如何完成插入，有了一定的了解了，接下来我们来做一个做一个总结。

插入过程总结：

1. 如果树为空，直接插入新节点中，该节点为树的根节点
2. 树非空，找待插入元素在树中的插入位置(注意：找到的插入节点位置一定在叶子节点中)
3. 检测是否找到插入位置(假设树中的key唯一，即该元素已经存在时则不插入)
4. 按照插入排序的思想将该元素插入到找到的节点中
5. 检测该节点是否满足B-树的性质：即该节点中的元素个数是否等于M，如果小于则满足
6. 如果插入后节点不满足B树的性质，需要对该节点进行分裂：申请新节点，找到该节点的中间位置，将该节点中间位置右侧的元素以及其孩子搬移到新节点中，将中间位置元素以及新节点往该节点的双亲节点中插入，即继续4
7. 如果向上已经分裂到根节点的位置，插入结束

B树的验证

跑一个中序，如果出来时有序序列，说明B树是合法的

思路很简单：在访问节点之前，先递归访问它的左子树。

	void _InOrder(Node* cur)
	{
		if (cur == nullptr)
			return;

		// 左 根  左 根  ...  右
		size_t i = 0;
		for (; i < cur->_n; ++i)
		{
			_InOrder(cur->_subs[i]); // 左子树
			cout << cur->_keys[i] << " "; // 根
		}

		_InOrder(cur->_subs[i]); // 最后的那个右子树
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

BTree.h实现代码

#pragma once

#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;

#pragma once

template<class K, size_t M>
struct BTreeNode
{
	//K _keys[M - 1];
	//BTreeNode<K, M>* _subs[M];

	// 为了方便插入以后再分裂，多给一个空间
	K _keys[M];
	BTreeNode<K, M>* _subs[M + 1];
	BTreeNode<K, M>* _parent;
	size_t _n; // 记录实际存储多个关键字 

	BTreeNode()
	{
		for (size_t i = 0; i < M; ++i)
		{
			_keys[i] = K();
			_subs[i] = nullptr;
		}

		_subs[M] = nullptr;
		_parent = nullptr;
		_n = 0;
	}
};

// 数据是存在磁盘，K是磁盘地址
template<class K, size_t M>
class BTree
{
	typedef BTreeNode<K, M> Node;
public:
	pair<Node*, int> Find(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			// 在一个节点查找
			size_t i = 0;
			while (i < cur->_n)
			{
				if (key < cur->_keys[i])
				{
					break;
				}
				else if (key > cur->_keys[i])
				{
					++i;
				}
				else
				{
					return make_pair(cur, i);
				}
			}

			// 往孩子去跳
			parent = cur;
			cur = cur->_subs[i];
		}

		return make_pair(parent, -1);
	}

	void InsertKey(Node* node, const K& key, Node* child)
	{
		int end = node->_n - 1;
		while (end >= 0)
		{
			if (key < node->_keys[end])
			{
				// 挪动key和他的右孩子
				node->_keys[end + 1] = node->_keys[end];
				node->_subs[end + 2] = node->_subs[end + 1];
				--end;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}

		node->_keys[end + 1] = key;
		node->_subs[end + 2] = child;
		if (child)
		{
			child->_parent = node;
		}

		node->_n++;
	}

	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node;
			_root->_keys[0] = key;
			_root->_n++;

			return true;
		}

		// key已经存在，不允许插入
		pair<Node*, int> ret = Find(key);
		if (ret.second >= 0)
		{
			return false;
		}

		// 如果没有找到，find顺便带回了要插入的那个叶子节点

		// 循环每次往cur插入 newkey和child
		Node* parent = ret.first;
		K newKey = key;
		Node* child = nullptr;
		while (1)
		{
			InsertKey(parent, newKey, child);
			// 满了就要分裂
			// 没有满，插入就结束
			if (parent->_n < M)
			{
				return true;
			}
			else
			{
				size_t mid = M / 2;
				// 分裂一半[mid+1, M-1]给兄弟
				Node* brother = new Node;
				size_t j = 0;
				size_t i = mid + 1;
				for (; i <= M - 1; ++i)
				{
					// 分裂拷贝key和key的左孩子
					brother->_keys[j] = parent->_keys[i];
					brother->_subs[j] = parent->_subs[i];
					if (parent->_subs[i])
					{
						parent->_subs[i]->_parent = brother;
					}
					++j;

					// 拷走重置一下方便观察
					parent->_keys[i] = K();
					parent->_subs[i] = nullptr;
				}

				// 还有最后一个右孩子拷给
				brother->_subs[j] = parent->_subs[i];
				if (parent->_subs[i])
				{
					parent->_subs[i]->_parent = brother;
				}
				parent->_subs[i] = nullptr;

				brother->_n = j;
				parent->_n -= (brother->_n + 1);

				K midKey = parent->_keys[mid];
				parent->_keys[mid] = K();

				// 说明刚刚分裂是根节点
				if (parent->_parent == nullptr)
				{
					_root = new Node;
					_root->_keys[0] = midKey;
					_root->_subs[0] = parent;
					_root->_subs[1] = brother;
					_root->_n = 1;

					parent->_parent = _root;
					brother->_parent = _root;
					break;
				}
				else
				{
					// 转换成往parent->parent 去插入parent->[mid] 和 brother
					newKey = midKey;

					child = brother;
					parent = parent->_parent;
				}
			}
		}

		return true;
	}

	void _InOrder(Node* cur)
	{
		if (cur == nullptr)
			return;

		// 左 根  左 根  ...  右
		size_t i = 0;
		for (; i < cur->_n; ++i)
		{
			_InOrder(cur->_subs[i]); // 左子树
			cout << cur->_keys[i] << " "; // 根
		}

		_InOrder(cur->_subs[i]); // 最后的那个右子树
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

void TestBtree()
{
	int a[] = { 53, 139, 75, 49, 145, 36, 101 };
	BTree<int, 3> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(e);
	}
	t.InOrder();
}

B+树

B+树是B树的变形，是在B树基础上优化的多路平衡搜索树，B+树的规则跟B树基本类似，但是又
在B树的基础上做了以下几点改进优化：

1. 分支节点的子树指针与关键字个数相同
2. 分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1])区间之间
3. 所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起
4. 所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现

这个就是一棵B+树 ，它的一个节点中的key数量和孩子数量是一样的。

B+树的插入

同样，博主也通过画图的方式带着大家理解B+树，这样更便于我们的理解。

我们通过序列[53,49,75,139,49,145,36,150,155]来理解3阶B+树的插入

同样，三阶B+树，每层节点我们开4个空间

• 插入53，49，75

• 插入139

• 插入36

•  插入101

• 插入150，155 

此时就需要一个连续的分裂过程了

看到这里，相信大家已经对B+树是如何完成插入，有了一定的了解了。

B+树的性质

B+树的特性：

1. 所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的。
2. 不可能在分支节点中命中。
3. 分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层。

B*树

B*树是B+树的变形，在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟节点的指针。
B+树的分裂：
当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增
加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向
兄弟的指针。
B*树的分裂：
当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结
点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如
果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父
结点增加新结点的指针。
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

B树系列结构总结

通过以上介绍，大致将B树，B+树，B*树总结如下：
B树：有序数组+平衡多叉树；
B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
B*树：一棵更丰满的，空间利用率更高的B+树。

B树系列性能总结

在内存中做内查找:
B树系列和哈希和平衡搜索树对比:
单纯论树的高度，搜索效率而言，B树确实不错但是B树系列有一些隐形坏处:

1. 空间利用率低，消耗高
2. 插入删除数据时，分裂和合并节点，那么必然挪动数据3.虽然高度耕地，但是在内存中而言，和哈希和平衡搜索树还是一个量级的结论:实质上B树系列在内存中体现不出优势!

因此，B树的优势主要体现在，外查找中！

B树系列的应用

B-树最常见的应用就是用来做索引。索引通俗的说就是为了方便用户快速找到所寻之物，比如：
书籍目录可以让读者快速找到相关信息，hao123网页导航网站，为了让用户能够快速的找到有价
值的分类网站，本质上就是互联网页面中的索引结构。
MySQL官方对索引的定义为：索引(index)是帮助MySQL高效获取数据的数据结构，简单来说：
索引就是数据结构。
当数据量很大时，为了能够方便管理数据，提高数据查询的效率，一般都会选择将数据保存到数
据库，因此数据库不仅仅是帮助用户管理数据，而且数据库系统还维护着满足特定查找算法的数
据结构，这些数据结构以某种方式引用数据，这样就可以在这些数据结构上实现高级查找算法，
该数据结构就是索引。

总结

看到这里,大家应该对B树系列有了比较深入的了解了。这篇博客博主花了很多心思在画图上，也投入了很多时间到画图上。希望大家可以多多支持，一键三连，点赞关注收藏评论后在离开哦!

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