CF1903

A

若 \(k>1\)，冒泡排序；否则判断是否已经有序。

B

初始令 \(a_i=2^{30}-1\)，然后对于每个限制，让 \(a_i\leftarrow a_i\&M_{i,j},\;\;a_j\leftarrow a_j\&M_{i,j}\)。

C

答案可以视作：总和 + 一个后缀 + 一个短一点的后缀 ……

除了总和是一开始就要算的，我们只要把每个和为正的后缀累加即可。

D2

题意：一次操作使一个数 \(+1\)，最多 \(k\) 次操作。问最终整个序列的按位与最大是多少。

直接看 D2，D1 略。

贪心，要尽可能让答案的二进制位变成 \(1\)。而答案的一个位上是 \(1\)，则所有数的这一位都得是 \(1\)。

所以 D1 的解法：按位从高到低，如果当前位可能是 \(1\)，就把所有数加到这一位是 \(1\)。

D2 的解法需要观察性质：当一个数被加到某一位是 \(1\)，其更低位一定都是 \(0\)。

首先可以快速求出来答案的最高位是第几位，因为可以预处理每个数使第 \(i\) 位为 \(1\) 要加多少。

假设答案最高位为 \(w\)，注意到 \(a_i<2^{20}\)。于是若 \(w\ge 20\)，变换后所有数都是 \(2^w\)。若剩下 \(c\) 次操作，最终答案为 \(2^w+\lfloor\dfrac{c}{n}\rfloor\)。

剩下情况就是 \(w\le 19\)。假设现在当前答案 \(ans\)，在贪第 \(i\) 位，我们要判断把所有数加到第 \(i\) 位是 \(1\) 的代价能否承担。（D1 的解法就是直接循环求和判断）

记录目前已经被加过的数的个数 \(cnt\)，这些数目前剩下的所有位都是 \(0\)，则贡献 \(cnt\times 2^i\)。

剩下的数只需考虑第 \(i\) 位是 \(0\) 的。这些数一定满足：之前 \(ans\) 的位都有。因为只有这样才不会在之前就被操作。

设这类数有 \(f_i\) 个，这类数低于 \(i\) 位的和是 \(g_i\)，则贡献的答案是 \(f_i\times 2^i-g_i\)。

怎么求 \(f,g\)？这些东西满足高位在 \(ans\) 的位上有，同时第 \(i\) 位没有。高维后缀和。

E

把点分为两类：\(x\equiv y\pmod 2\) 和 \(x\not\equiv y\pmod 2\) 的。

起点已经确定，其实哪边赢只和终点是哪类点有关。