NC20909 游戏

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题目

题目描述

有 n 个人围成一个环玩传球游戏，每轮游戏手里拿着球的那个人必须将球传给他（她）的一个朋友。游戏一共进行了 m 轮，初始球在第 a 个人手中，问游戏结束后球在第 b 个人手中的方案数。

多组测试数据。答案对 10^9+7 取模。

输入描述

第一行三个整数 Q,n,m(1≤ Q≤10^{5,n≤200,m≤10}9)，含义如题目所示。

接下来 n 行，每行 n 个整数表示每个人的朋友关系，若第 i 行的第 j 个数为 0 表示 i 与 j 不是朋友，反之亦然。请特别注意本题中朋友关系是有向的。特别地，一个人不能为自己的朋友。

接下来 Q 行，每行两个整数 a,b 分别表示一组询问。

输出描述

输出共 Q 行，每行一个整数，表示答案。

示例1

输入

1 2 1
0 1
1 0
1 1

输出

0

说明

测试数据中共有两个人玩游戏。包含一组询问。

第一个人与第二个人互为朋友。游戏共进行了一轮。

第一次询问中询问游戏结束后第一个人手中仍然有球的方案数。

显然在一轮游戏后，由于每轮传球一个人必须将球传给他（她）的朋友，所以球不可能还在自己手里。

题解

知识点：线性代数，组合数学，运算优化。

众所周知，floyd可以求任意两点之间简单路径条数，因为它限制了每次走的点编号是递增的，所以不会出现回路。

但是如果把这个限制去掉，那运算过程就变成朴素的矩阵乘法，求到的东西就是任意两点之间路径条数（可以有环），就是本题需要的东西，这个过程可以用矩阵快速幂加速。

时间复杂度 \(O(n^3\log m)\)

空间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

struct Matrix {
    const static int P;

    int n, m;
    vector<vector<int>> mat;

    Matrix(int _n = 0) :n(_n), m(_n), mat(_n + 1, vector<int>(_n + 1)) { for (int i = 1;i <= n;i++) mat[i][i] = 1; }
    Matrix(int _n, int _m) :n(_n), m(_m), mat(_n + 1, vector<int>(_m + 1)) {}
    Matrix(const vector<vector<int>> &_mat) :n(_mat.size() - 1), m(_mat[1].size() - 1), mat(_mat) {}

    friend Matrix operator*(const Matrix &A, const Matrix &B) {
        Matrix ans(A.n, B.m);
        if (A.m != B.n) return ans;
        for (int i = 1;i <= A.n;i++)
            for (int k = 1;k <= A.m;k++) //a.m == b.n
                for (int j = 1;j <= B.m;j++)
                    ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + 1LL * A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) % P;
        return ans;
    }

    friend Matrix operator^(Matrix A, ll k) {
        Matrix ans(A.n);
        while (k) {
            if (k & 1) ans = ans * A;
            k >>= 1;
            A = A * A;
        }
        return ans;
    }

    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Matrix &A) {
        for (int i = 1; i <= A.n; i++)
            for (int j = 1; j <= A.m; j++)
                os << A.mat[i][j] << " \n"[i != A.n && j == A.m];
        return os;
    }
};

const int P = 1e9 + 7;
const int Matrix::P = ::P;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int q, n, m;
    cin >> q >> n >> m;
    Matrix A(n);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= n;j++)
            cin >> A.mat[i][j];
    A = A ^ m;
    while (q--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        cout << A.mat[a][b] << '\n';
    }
    return 0;
}