CDQZ DS 题单总结（上）

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个人认为是一套非常好的题单，能在各个方面练习 DS 水平，并且很多题型也是比赛当中的经典题

Challenge 0：

简单的数组，懒得写了。

Challenge 1：

考虑每一次修改所带来的的影响，因为修改是直接对上一个版本而不是任意一个版本进行修改，所以我们可以让每一个位置维护一个 vector，当我们修改某个位置时，就把操作序号和修改的值 push_back 进 vector 里面，然后查询第几次操作时某位置的值就变成了在 vector 上面二分。时间复杂度 $O(M \log |opt|)$

Challenge 2：

主席树，但是大型动态开点现场。

我们对于操作二，可以理解为在当前最新版本查询第 $x$ 个元素。

对于操作三，我们可以理解为 copy 相对于第 $x$ 前版本，使之成为最新版本。

至于操作一，我们可以预先分配好 $1e5$ 长度的序列，然后加减数就是动态开点式添点，因为我们的加是直接在尾部添加，所以我们每个叶子结点只需要两个信息：当前值和元素个数，然后 $\text{pushup}$ 元素个数就行了。

Challenge 3：

线段树板子题，懒得记录了。

Challenge 4：

有两种思路，先说第一种：

对于操作 $2$，我们可以观察一下，发现其本质是区间和的平方减去区间平方和再除以 $2$，所以让线段树维护区间和和区间平方和就可以了。

至于操作 $3$ 嘛，因为只是单点修改，所以怎么乱搞都可以过。

第二种是机房 $\text{gxd}$ 大神提出来的（膜拜大神 $\text{gxd}$）：

对于一个区间，我们维护两个值，分别是两两相乘的值和区间和，对于区间的合并，我们则有：

\[\text{合并出来的区间 = 原先两个区间的两两相乘值 + 两个区间的区间和相乘}
\]

然后就做完了，毕竟是单点改，所以修改操作也是 $O(M \log n)$ 的。

以上两种的时间复杂度都是 $O(n \log n)$

Challenge 5：

也是线段树板子题，不过 $\text{lazytag}$ 下传的时候要考虑一下 $\text{lazytag}$ 是否真的存在。

或许珂朵莉树也是个不错的选择？

Challenge 6：

（前言：楼房重建的翻版）

喵喵题，所有的喵喵之处全在 $\text{pushup}$ 上了，其余的和板子一样。

对于本题，$\text{pushup}$ 应该依照一下逻辑：

若当前区间的最大值小于 $cmax$，则直接返回 $0$
若当前区间为叶子，则返回 $cmax < seg[p].max$
若当前区间的第一个元素大于 $cmax$，则直接返回该区间的贡献。
若当前区间的左儿子的最大值小于等于 $cmax$，则递归到右儿子
（重点）若当前区间的左儿子最大值大于 $cmax$，则递归到左儿子，此时右儿子的贡献则为 $pushup(cmax,p<<1)+seg[p].data - seg[p<<1].data$。

可能第五点不大好理解，这里详细说一下：

因为右儿子中有贡献的一定大于左儿子的最大值，所以我们无论左儿子中哪些数做出了贡献，右儿子那些有贡献的数必定已然拥有贡献，而且我们保证，若左儿子拥有贡献，则提供贡献的肯定包含左儿子的最大值，因为右儿子有贡献的必定大于左儿子的最大值，所以易证右儿子的贡献可以全部加上。

然后就是一个线段树单点修改的板子。

Challenge 7：

有两种思路，我们先说第一种：

用 $\text{unordered\_map}$ 开个桶，然后顺便记录一下原序列，则此时更改序列某一个元素就变成了将桶中原来那个数的位置 $-1$，修改后的数的位置 $+1$。

查询直接 $\text{unordered\_map}$ 映射过来就好。

操作的时间复杂度近似于 $O(1)$，但是不保证毒瘤出题人是否会卡你 $\text{unordered\_map}$，所以换成 $\text{map}$ 的话更稳妥但此时复杂度上升至了 $O(\log n)$.

第二种思路和第一种一样，但是鉴于原题建议 $\text{C++}$ 选手不要用 $\text{STL}$，则我们可以用平衡树或者值域线段树来代替 STL。

时间复杂度 $O(M \log n)$

Challenge 8：

刚开始被唬了一跳，然后立马调整过来了。

一道非常不错的 “贪心+平衡树+堆+哈希表”

我们分析一下，当一个数插入进来的时候，在当前数列中与哪些数之间的差特别小，显然，肯定是与他的前驱或者后继相差最小。

于是维护一颗平衡树（实际上我用的是 $\text{set}$，因为感觉自己写的容易 T 飞），他的作用主要是来查询当前待插入值得前驱后继。

那么对于差，我们维护一个小根堆（$\text{priority\_queue}$），此时显然堆顶就是我们想要的答案。

那么删除操作该怎么办呢，因为优先队列无法做到精准定位删除，所以我们可以让关于优先队列的删除操作在查询时完成，为了标记我们需要删除的值，我们还应当维护一张哈希表（$\text{unordered\_map}$），用来记录有哪些差值需要被删除多少次。

注意：

当我们删除一个值的时候，应当将他的前驱和后继的差再 $\text{push}$ 进去，否则会少信息。
当我们插入一个值得时候，应当先找前驱后继再插入，否则会增加代码量或者有一定概率 G 掉

时间复杂度应该是个摊还分析，不会，盲猜 $O(n \log n)$

关于删除操作还有另外两种思路（全部来自于 $\text{do\_while\_true}$，在这里万分感谢他）：

使用 $\text{multi\_set}$，作用和优先队列差不多（抛开对比优先队列的常数），但是支持迭代器 $\text{erase}$，删除的时候直接 $\text{lower\_bound} + \text{erase}$，查询最小只需要 $\text{begin}$ 就行了。时间复杂度依旧是 $O(M \log n)$
可删堆的思路，似乎常数更小？均摊下来依旧是 $O(M\log n)$

Challenge 9：

一道非常经典的 trick 好题

我们将每个线段树节点维护两个信息，分别是当前位置的数字和当前区间的有效元素个数，此时删除操作就变成了减少某个位置的有效元素个数，查询操作就变成了用当前的有效元素个数信息来凑出第 $k$ 个数。

Challenge 10：

值域线段树或平衡树，原理同 Challenge 9。

注意查询右子树的时候应该是 $k - \text{左子树的cnt}$

Challenge 11：

主席树板子（雾），没啥技术含量（大雾），只要对线段树足够了解可以直接现魔改。

Challenge 12：

主席树板子二……

拓展：如果带单点修改怎么办

即答：主席树套树状数组