最小生成树之Prim算法和Kruskal算法

最小生成树算法

一个连通图可能有多棵生成树，而最小生成树是一副连通加权无向图中一颗权值最小的生成树，它可以根据Prim算法和Kruskal算法得出，这两个算法分别从点和边的角度来解决。

Prim算法

理解

Prim算法从单一顶点开始，其按照以下步骤逐步扩大树中所包含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：Vn = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；
3. 重复下列操作，直到Vn = V：
   1. 在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vn中的元素，而v则是V中没有加入Vn的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   2. 将v加入集合Vn中，将（u, v）加入集合En中；
4. 输出：使用集合Vn和En来描述所得到的最小生成树。

以下面这张图作为例子，表格中的Vertex、Kown、Cost、Path分别表示顶点信息、是否访问过，权值，到达路径；

我们随机的选择顶点0作为起点，其执行步骤为：

步骤	选中结点
顶点0作为起始点	0
根据(6, 7, 8)的方案选中6	1
根据顶点1能够到达的权值(7, 4, 3)和顶点0能够到达的权值(7, 8)中选择3	5
根据顶点5能够到达的权值(8)和根据顶点1能够到达的权值(7, 4)和顶点0能够到达的权值(7, 8)中选择4	6
根据顶点6能够到达的权值(6, 7)和顶点0能够到达的权值(7)中选择6	2
根据顶点0能够到达的权值(7)和顶点6能够到达的权值(7)中选择7	4
根据顶点6能够到达的权值(7)选择7	7
根据顶点7能够到达的权值(2)选择2	3
全部结点都访问过，退出

最终得到下面的结果，其中Path中的-1表示其作为起始点；

实现

根据前面的那幅图来实现，如下：

class MST(object):
    def __init__(self, graph):
        self.graph = graph
        self.N = len(self.graph)
        pass
    def prim(self, start):
        index = start
        cost, path = [0] * self.N, [0] * self.N
        # 初始化起点
        known = [x for x in map(lambda x: True if x == start else False, [x for x in range(self.N)])]
        path[start] = -1
        for i in range(self.N):
            cost[i] = self.graph[start][i]
        # 遍历其余各个结点
        for i in range(1, self.N):
            mi = 1e9
            # 找出相对最小权重的结点
            for j in range(self.N):
                if not known[j] and mi > cost[j]:
                    mi, index = cost[j], j
            # 计算路径值
            for j in range(self.N):
                if self.graph[j][index] == mi:
                    path[index] = j
            known[index] = True
            # 更新index连通其它结点的权重
            for j in range(self.N):
                if not known[j] and cost[j] > self.graph[index][j]:
                    cost[j] = self.graph[index][j]
        print(path)
# 图用临接矩阵表示
MST([
    [1e9, 6, 8, 1e9, 7, 1e9, 1e9, 1e9],
    [6, 1e9, 7, 1e9, 1e9, 3, 4, 1e9],
    [8, 7, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 6, 1e9],
    [1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 2],
    [7, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9],
    [1e9, 3, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 9],
    [1e9, 4, 6, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 7],
    [1e9, 1e9, 1e9, 2, 1e9, 9, 7, 1e9],
]).prim(0)

path结果为：[-1, 0, 6, 7, 0, 1, 1, 6]

Kruskal算法

理解

构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林 。之后，从图的边集中选取一条权值最小的边，若该边的两个顶点分属不同的树 ，则将其加入子图，也就是这两个顶点分别所在的 两棵树合成一棵树；反之，若该边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。

以下面这张图作为例子，其中左边的表格是一个并查集，表示可以连通的结点。我们首先要根据权值对每条边进行排序，接着开始处理每一条边的情况。

最终得到下面的结果图：

实现

因为我们要处理边，所以需要建立边的数据结构，并且要从给定的图中获取每一条边的数据

class Edge(object):
    def __init__(self, start, end, weight):
        self.start = start
        self.end = end
        self.weight = weight
    def getEdges(self):
        edges = []
        for i in range(self.vertex):
            for j in range(i+1, self.vertex):
                if self.graph[i][j] != 1e9:
                    edge = Edge(i, j, self.graph[i][j])
                    edges.append(edge)
        return edges

接下来就是kruskal函数：

    def kruskal(self):
        union = dict.fromkeys([i for i in range(self.vertex)], -1)  # 辅助数组，判断两个结点是否连通
        self.edges = self.getEdges()
        self.edges.sort(key=lambda x: x.weight)
        res = []
        def getend(start):
            while union[start] >= 0:
                start = union[start]
            return start
        for edge in self.edges:
            # 找到连通线路的最后一个结点
            n1 = getend(edge.start)
            n2 = getend(edge.end)
            # 如果为共同的终点则不处理
            if n1 != n2:
                print('{}----->{}'.format(n1, n2))
                (n1, n2) = (n2, n1) if union[n1] < union[n2] else (n1, n2)
                union[n2] += union[n1]
                union[n1] = n2
                res.append(edge)
        print(union.values())

其中union打印出来的结果和图中是一致的，为[3, 3, 5, 6, 6, 6, -8, 3]