09day2

多米诺骨牌

递推+高精度

【问题描述】

Jzabc 对多米诺骨牌有很大兴趣，然而他的骨牌比较特别，只有黑色的和白色的两种。他觉得如果存在连续三个骨牌是同一种颜色，那么这个骨牌排列便是不美观的。现在他有 n 个骨牌要排列，他想知道不美观的排列的个数，由于数字较大，数学不好的他不会统计，所以他请你来帮忙。希望你在一秒内求出不美观的排列的个数

【输入】

只有一个正整数，即要排列的骨牌个数

【输出】

一个数，即不美观的排列个数。

【输入样例】

4

【输出样例】

6

【Hint】

有六种不美观的排列：

黑黑黑黑，白白白白，黑黑黑白，白白白黑，黑白白白，白黑黑黑

【数据范围】

20%的数据，n≤60；

50%的数据，n≤600；

100%的数据，n≤20000。

【解题过程】

一点思路都没有，就用搜索打了个表，发现了点规律。用 f(i) 表示有 i 个骨牌时的不美观的排列数，则可以发现 f(i)-2*f(i-1) = 2*fib(i-3)（fib 表示斐波那契数列，具体是 fib(i-3) 还是 fib(i-2) 我也忘了）。那么就可以递推了，但是由于 n 会达到 20000，所以不得不用高精度。如果用普通的高精度加法，由于最后结果长达 6000 位，很明显会 TLE。所以当然要用高大上的万进制。但是效果依然不好，于是我丧心病狂地开了 long long 并采用 10^18 进制。效率的提升是很明显的，即使是 20000 几乎也能马上出解。

但是在调的过程中发现一点不对劲，如果我用 10^16 进制，得到的答案和 10^18 进制得到的答案不一样，具体表现为漏了一些 0。然后恍然大悟，所有 10 的幂进制高精度都需要注意的地方，就是最后输出的时候，除了最前面的部分，后面的那些数字如果位数不够要补 0，比如对于万进制，某个数组元素存放的值是 1，其对应的值其实是 0001，这个值如果是在整个数的开头那么不必加 0，如果是在中间则必须加 0。

但是还是要写一下为什么存在这个规律。如果我们考虑美观的情况，f(i) 可以分两种情况：第 i 个与第 i-1个同色或不同色。则 f(i) = f(i-2)+f(i-1)。

第一次提交 AC。

 

超车

求逆序对

【问题描述】

Jzabc 除了对多米诺骨牌感兴趣外，对赛车也很感兴趣。上个周末他观看了一场赛车比赛。他总是能想出许多稀奇的问题。某一时刻，他看到有 n 辆车（总是匀速行驶）在同一直线上，并且处在一个无限长度的直道上。而且 n 辆车有严格的先后之分。他通过特殊的器材测出了每一辆车的速度。那么问题出现了，如果有两辆车 A 车和 B 车，A 车在 B 车的后面，并且 A 车的速度比 B 车快，那么经过一段时间后，A 车一定会超过 B 车。我们称之为一次超车。那么他想请你帮忙计算超车总数。我们记车道起点的坐标为 0，没有两辆车的坐标相同。

【输入】

第一行，一个数 n，车辆总数。以下 n 行为 n 辆车的信息：

第二行至第 n+1 行，每行两个正整数 x,y，分别表示车的坐标和车的速度。0<x,y≤1000000000。

【输出】

一行，超车总数。

【输入样例】

2

5 6

2 8

【输出样例】

1

【数据规模】

20%的数据，n≤300；

50%的数据，n≤3000；

100%的数据，n≤300000。

【解题过程】

好裸的逆序对。

但是写归并排序还是没有一次写对，后面发现循环里没有处理元素大小相同的情况。

注意做归并排序之前还要先按坐标对这些车进行排序。

 

最小奖励

动态规划

【问题描述】

Jzabc 更是一个狂热的旅游爱好者。这次他想去一个诡异的地方。这个地方有 n 个村庄，编号为1 到 n。此刻他在 1 号村庄，他想去 n 号村庄。这 n 个村庄之间有 m 条单向道路。通过某些道路时，可能会花费一些钱作为"买路钱"，可是通过一些道路时，不仅不需要交"买路钱"，而且会得到一些奖励（这就是诡异的地方？）。当然两个村庄之间可能有多条直接相连的道路，但是每一条道路只能通过一次。这些村庄有这样的特性，从任何一个村庄出发，沿着任一条路径走都不会回到出发点。找到一条路径从 1 号村庄到 n 号村庄后，他需要计算一共得到多少奖励，一共交了多少"买路钱"。如果得到的总奖励钱数大于交的"买路钱"数，那么称走这一条路径可以得到奖励；相反，如果前者小于后者，那么称走这一条路径需要花费。如果两者相等，那么 Jzabc 不会选这一条路（我也不知道他为什么不选这一条路径）。不会出现所有的路径两者都相等。他又需要你的帮助，让你找一条路径，使他得到的奖励最小（为什么不是最大的奖励？），并输出最小奖励。如果找不到一条路径能使他得到奖励，那么就找一条路径使他得到的花费最大（为什么就不是最小的花费？），并输出最大花费。

【输入】

第一行两个正整数 n 和 m，n 是村庄数，m 是道路数。

以下 m 行，每行三个数 x,y,w，表示 x 为起点，y 是终点，若 w 为正，则是通过此条道路得到的奖励；若 w 为负，则是通过此条道路交的"买路钱"。w≠0 且|w|≤10。

【输出】

一个整数。若有最小奖励，则输出。否则输出最大花费。

【输入样例】

【数据规模】

20%的数据，n≤20，m≤200；

50%的数据，n≤50，m≤2000；

100%的数据，n≤100，m≤20000。

【解题过程】

首先从题目描述上看是个 DAG。那么我们就可以用布尔型的 f(i, j) 表示从节点 1 走到节点 i 权值之和能否等于 j。由于存在负数，所以我们给它加一个偏移量，也就是说把「0」设置为 1001，则小于 1001 的数就表示负数。

一开始还想用拓扑排序先求一遍顺序再按拓扑序来 DP，但是发现可以直接记忆化搜索，它自然会按照拓扑序来完成。注意把边反向才能不用拓扑排序而直接记忆化搜索做。

第一次提交 AC（其实是爆0但那是数据问题）。