[cf1361E]James and the Chase

称一个点是"好点"，当且仅当其到其余所有点恰存在一条简单路径

结论1：$x$为好点当且仅当以$x$为根的dfs树包含所有点且非树边均为返祖边

若不包含所有点，那么$x$到不被包含的点即不存在简单路径

若存在非树边不为返祖边，则不论如何该边$x$到该边终点存在至少两条简单路径

另一方面，考虑在这样一棵dfs树中的简单路径，将其用非树边划分为若干段（段的内部只能用树边），每一段树边构成一条链，则显然有以下性质：

1.链无公共点

2.第一条链链顶为起点，最后一条链链尾为终点

3.每一条链链尾存在到下一条链链顶的（返祖）边

4.每一条链链顶是上一条链链顶的祖先（其实是1和3的推论）

由此，考虑从$x$到$y$的简单路径，最后一条链链顶是$x$的祖先（4的推论），而该链链尾为$y$，因此$x$到$y$的简单路径数必然经过$lca(x,y)$

特别的，若$x$是$y$的祖先，那么为了不重复经过$x$，必然仅有一条链且恰为$x$到$y$

更特别的，当$x$是根时其是任意一点的祖先，因此到任意一点恰存在一条简单路径，即得证

根据此结论，即可$o(n)$判定一个好点

进一步的，不断随机一个点$x$并判断其是否是好点，若随机$T$次后仍找不到好点，那么好点数严格小于20%的概率即有$1-\frac{1}{5^{T}}$，当$T=100$时可以看作1，也即不需要输出

由此即可得到一个好点，将其记作$rt$，并以$rt$为根建立dfs树（以下均指此树）

称一条非树边"通过"$x$当且仅当其以$x$子树内（包括$x$）为起点且到达$x$的祖先

结论2：$x$为好点当且仅当$x=rt$或恰存在一条非树边通过$x$且该非树边的终点为好点

$x=rt$的情况显然，不妨假设$x\ne rt$

此时，如果不存在非树边通过$x$显然$x$无法到达$x$的祖先，如果存在多条非树边通过$x$则显然$x$到这两条非树边终点中较深的点存在至少两条简单路径，因此$x$均不为好点

而若该非树边的终点不为好点，对其分类讨论：

1.若其到某点不存在简单路径，注意到其可以到达$x$，那么$x$到该点一定也不存在简单路径

2.若其到某点存在至少两条简单路径，该点显然不在其子树中（结合结论1的证明），那么其一定不会再经过$x$（到达$x$子树内后要离开必须重复经过自己），也即$x$到其的这一段不会使得简单路径重复经过某点，那么$x$到该点也存在至少两条简单路径

另一方面，若该非树边的终点是好点，则对其余点分类讨论：

1.$x$到$x$子树内的点，同样根据结论1的证明恰存在一条简单路径

2.$x$到$x$子树外的点，必然要经过该好点且之后不会在经过$x$，在其简单路径的基础上补一段即可

由此，简单递归即可求出所有好点

时间复杂度为$o(Tn)$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 100005
 4 #define T 100
 5 vector<int>ans,v[N];
 6 int t,n,m,rt,flag,x,y,dfn[N],cnt[N],pos[N],vis[N];
 7 void dfs(int k){
 8     dfn[k]=++dfn[0],vis[k]=1;
 9     for(int i=0;i<v[k].size();i++)
10         if (!dfn[v[k][i]]){
11             dfs(v[k][i]);
12             if ((!pos[k])||(dfn[pos[v[k][i]]]<dfn[pos[k]]))pos[k]=pos[v[k][i]];
13             cnt[k]+=cnt[v[k][i]];
14         }
15         else{
16             if (!vis[v[k][i]])flag=1;
17             else{
18                 if ((!pos[k])||(dfn[v[k][i]]<dfn[pos[k]]))pos[k]=v[k][i];
19                 cnt[k]++,cnt[v[k][i]]--;
20             }
21         }
22     vis[k]=0;
23 }
24 void check(int k){
25     vis[k]=0;
26     if ((k==rt)||(cnt[k]==1)&&(vis[pos[k]]))vis[k]=1;
27     for(int i=0;i<v[k].size();i++)
28         if (dfn[k]<dfn[v[k][i]])check(v[k][i]);
29 }
30 int main(){
31     srand(time(0));
32     scanf("%d",&t);
33     while (t--){
34         scanf("%d%d",&n,&m);
35         ans.clear();
36         for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear();
37         for(int i=1;i<=m;i++){
38             scanf("%d%d",&x,&y);
39             v[x].push_back(y);
40         }
41         for(int k=0;k<T;k++){
42             rt=flag=dfn[0]=0;
43             for(int i=0;i<20;i++)rt=(rt<<1)+rand()%2;
44             rt=(rt+n-1)%n+1;
45             for(int i=1;i<=n;i++)dfn[i]=cnt[i]=pos[i]=vis[i]=0;
46             dfs(rt);
47             if ((dfn[0]!=n)||(flag))continue;
48             for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
49             check(rt);
50             for(int i=1;i<=n;i++)
51                 if (vis[i])ans.push_back(i);
52             break;
53         }
54         if (5*ans.size()<n)printf("-1\n");
55         else{
56             printf("%d",ans[0]);
57             for(int i=1;i<ans.size();i++)printf(" %d",ans[i]);
58             printf("\n");
59         }
60     }
61     return 0;
62 }