题解 [SBCOI2020] 一直在你身旁

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题目大意

给出一个长度为 \(n\) 的单调不减的序列，每次可以选出一个点，产生贡献 \(a_k\)，我们可以得知我们需要找到的数是否大于 \(k\)。问找到要找到的数最小花费。

\(n\le 7100\)

思路

\(\Theta(n^3)\) 的 \(\text{dp}\) 显然，可以设 \(f_{l,r}\) 表示答案在 \([l,r]\) 区间时找到答案最小贡献。可以得到转移式：

\[f_{l,r}=\min_{l\le k\le r}\{\max(f_{l,k},f_{k+1,r})+a_k\}
\]

然后我们经过思考，发现以下事情：

• \(f(l,r)\ge f(l,r-1),f(l,r)\ge f(l+1,r)\)

• 我们如果设 \(w_{l,r}\) 表示第一个满足 \(f_{l,k}\ge f_{k+1,r}\) 的 \(k\)，那么可以发现对于相同的 \(r\)，\(w_{l,r}\) 随着 \(l\) 的减小而减小。

于是，我们可以把问题拆成两个部分进行考虑。

1. \(k< w_{l,r}\)

对于这一部分，我们观察到式子可以改写为:

\[f_{l,r}=\min_{l\le k<w_{l,r}}\{f_{k+1,r}+a_k\}
\]

然后你发现这个式子可以使用单调队列进行优化。

1. \(k\ge w_{l,r}\)

对于这一部分你发现式子可以改写为：

\[f_{l,r}=\min_{w_{l,r}\le k\le r}\{f_{l,k}+a_k\}
\]

然后你发现 \(f_{l,k}+a_k\) 随着 \(k\) 的增大而增大，所以最优贡献点一定是在 \(w_{l,r}\)。

---

综上，可以枚举 \(r\) 然后使用单调队列优化即可，时间复杂度 \(\Theta(n^2)\)。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long
#define MAXN 7105

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int n,head,tail,a[MAXN],q[MAXN],f[MAXN][MAXN];

void ins (int k,int r){
	while (head <= tail && f[r][q[tail] + 1] + a[q[tail]] >= f[r][k + 1] + a[k]) -- tail;
	q[++ tail] = k;
}

signed main(){
	int T;read (T);
	while (T --> 0){
		read (n);
		for (Int i = 1;i <= n;++ i) read (a[i]);
		for (Int r = 2;r <= n;++ r){
			q[head = tail = 1] = r - 1,f[r][r - 1] = a[r - 1];int res = r;
			for (Int l = r - 2;l >= 1;-- l){
				while (f[res - 1][l] > f[r][res] && res > l) -- res;
				while (head <= tail && q[head] >= res) ++ head;
				f[r][l] = f[res][l] + a[res];
				if (head <= tail) f[r][l] = min (f[r][l],f[r][q[head] + 1] + a[q[head]]);
				ins (l,r);
			}
		}
		write (f[n][1]),putchar ('\n');
	}
	return 0;
}