CodeForces 1091H. New Year and the Tricolore Recreation

题目简述：给定$n \leq 10^5$个三元组$(b_i, w_i, r_i)$，其中$10^5 \leq b_i < w_i < r_i \leq 10^5$，以及一个限制参数$f$。一个正整数$k$是【好】的，若其为质数，或者为两个（可以相同的）质数之积。A和B进行双人博弈：

在A的回合：A进行一次操作，选择一个$1 \leq i \leq n$和一个【好】数$k \neq f$，将$(b_i, w_i, r_i)$变为$(b_i+k, w_i, r_i)$或者变为$(b_i+k, w_i+k, r_i)$；

在B的回合：B进行一次操作，选择一个$1 \leq i \leq n$和一个【好】数$k \neq f$，将$(b_i, w_i, r_i)$变为$(b_i, w_i, r_i-k)$或者变为$(b_i, w_i-k, r_i-k)$。

一次操作是合法的，如果这个操作之后仍然满足$b_i < w_i < r_i$。第一个无法进行合法操作的一方输掉此次博弈。

假设二人的决策是最优的，问：1. 若$A$先手则谁赢；2. 若$B$先手则谁赢。

解：code

建模：

令$x_i = w_i-b_i, y_i = r_i-b_i$，一个三元组$(b_i, w_i, r_i)$则可以被二元组$(x_i, y_i)$描述，因为我们只会关心他们的相对位置。

则在A和B的回合都是：将$(x_i, y_i)$变为$(x_i-k, y_i)$或者$(x_i, y_i-k)$。而且每次操作后，要求满足$x_i > 0$且$y_i > 0$。

于是，一组$(x_i, y_i)$相当于是两个独立的“取石子游戏”。与传统“取石子游戏”不同的地方则是只允许每次从一堆石子中拿出【好】数个石子。

从而，整个博弈就化为了$2n$个独立的“取石子游戏”。

SG函数：

令$\text{SG}(n)$表示有$n$个石子的“取石子游戏”的SG函数值，则

$$ \text{SG}(n) = \begin{cases} \operatorname{mex}\{ \text{SG}(n-k): k \leq n\text{是好数} \} & n \geq 1 \\ 0 & n = 0 \end{cases}, $$

其中$\text{mex} S$表示集合$S$中未出现的最小非负整数。

观察：当$n \leq 2\times 10^5$时，$\text{SG}(n) \leq 100$。（？？？）

求解出SG函数值后，根据Sprague-Grundy定理，将$2n$个独立的“取石子游戏”的SG函数值作异或（xor）得到整个博弈的SG函数值。

位运算优化：

我们维护$f[i][j]$表示SG值为$i$的所有已处理的状态是否有向状态$j$的转移。令$u[i]$表示$i$是否是【好】数。若$f[i]$和$u$均用bitset存储，则SG函数的计算以及$f[i][j]$可以如下方式维护：

f[0] = u;
for (int i = 1; i <= 200000; ++ i)
{
    for (SG[i] = 0; f[SG[i]][i]; ++ SG[i]);
    f[SG[i]] |= u<<i;
}

　　

时间复杂度为$O(n^2/32)$，空间复杂度$O(nm/32)$，其中$m$为最大可能的SG函数值。

注：注意到当$i$较大时，"f[SG[i]] |= u<<i"还有优化空间，因为u的高位bit在运算中是无用的。可自己实现bitset做到此优化。code2