SG函数入门&&HDU 1848

SG函数

sg[i]为0表示i节点先手必败。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1,3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}=mex{0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}=mex{1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}=mex{0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}=mex{1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}=mex{2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
可选步数为任意步，SG(x) = x;
可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

证明略（不会）

求SG值

1. 打表

//f[]: 可以取走的石子数量

//sg[]: 1~n的sg函数值

//vis[]: mex{}

void getSG(int n) {

    memset(sg, , sizeof(sg));

    for (int i = ; i <= n; i++) {

        memset(vis, , sizeof(vis));

        for (int j = ; f[j] <= i && j < maxm; j++)

            vis[sg[i - f[j]]] = ;

        for (int j = ;; j++) if (!vis[j]) {   //最小的未出现的正整数

            sg[i] = j;

            break;

        }

    }

}

2. 记忆化搜索

//记忆化搜索

//f[]: 从小到大排序

//sg[]: 初始化为-1

//maxm，石子个数，集合的最大数量

int dp(int x)

{

    if (sg[x] != -)  return sg[x];

    bool vis[maxn];

    memset(vis, , sizeof(vis));

    for (int i = ; i < maxm; i++)

    {

        if (f[i] <= x)

        {

            dp(x - f[i]);

            vis[sg[x - f[i]]] = ;

        }

    }

    for (int i = ;; i++)

    {

        if (!vis[i])  return sg[x] = i;

    }

}

HDU 1848

今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：
1、  这是一个二人游戏;

2、  一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；

3、  两人轮流走;

4、  每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；

5、  f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；

6、  最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 const int maxn =  + ;

 const int maxm = ;        //石子个数

 int f[maxm], sg[maxn];

 bool vis[maxn];

 //f[]: 可以取走的石子数量

 //sg[]: 1~n的sg函数值

 //vis[]: mex{}

 void getSG(int n) {

     memset(sg, , sizeof(sg));

     for (int i = ; i <= n; i++) {

         memset(vis, , sizeof(vis));

         for (int j = ; f[j] <= i && j < maxm; j++)

             vis[sg[i - f[j]]] = ;

         for (int j = ;; j++) if (!vis[j]) {   //最小的未出现的正整数

             sg[i] = j;

             break;

         }

     }

 }

 //记忆化搜索

 //f[]: 从小到大排序

 //sg[]: 初始化为-1

 //maxm，石子个数，集合的最大数量

 int dp(int x)

 {

     if (sg[x] != -)  return sg[x];

     bool vis[maxn];

     memset(vis, , sizeof(vis));

     for (int i = ; i < maxm; i++)

     {

         if (f[i] <= x)

         {

             dp(x - f[i]);

             vis[sg[x - f[i]]] = ;

         }

     }

     for (int i = ;; i++)

     {

         if (!vis[i])  return sg[x] = i;

     }

 }

 void init()

 {

     f[] = f[] = ;

     for (int i = ; i < maxm; i++)

         f[i] = f[i - ] + f[i - ];

     memset(sg, -, sizeof(sg));

 }

 int m, n, p;

 int main()

 {

     init();

     //getSG(1000);

     while (scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) == && n)

     {

         if (dp(m) ^ dp(n) ^ dp(p))  printf("Fibo\n");

         else  printf("Nacci\n");

     }

     return ;

 }

参考链接：

1、https://blog.csdn.net/yizhangbiao/article/details/51992022

2、https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432