线性回归 python小样例

线性回归
优点：结果易于理解，计算上不复杂
缺点：对非线性的数据拟合不好
适用数据类型：数值型和标称型数据
horse=0.0015*annualSalary-0.99*hoursListeningToPulicRadio
这就是所谓的回归方程，其中的0.0015和-0.99称作回归系数，
求这些回归系数的过程就是回归。一旦有了这些回归系数，再给定输入，做预测就非常容易了
具体的做法就是用回归系数乘以输入值，再将结果全部加在一起，就得到了预测值
回归的一般方法
（1）收集数据：采用任意方法收集数据
（2）准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转成二值型数据（3）分析数据：绘出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析，在采用缩减法球的新回归系数之后，
可以将新拟合线绘在图上作为对比
（4）训练算法：找到回归系数
（5）测试算法：适用R2或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果
（6）使用算法：使用回归，可以在给定输入的时候预测出一个数值，这是对分类方法的提升，
因为这样可以预测连续型数据而不仅仅是离散的类别标签
应当怎样从一大堆数据中求出回归方程呢？嘉定输入数据存放在举着呢X中，而回归系数存放在向量w中，那么对于
给定的数据x1，预测结果将会通过y1=x1^T *W给出。现在的问题是，手里有些x和对应的y值，怎样才能找到W呢？
一个常用的方法就是找出使误差最小的w。这里的误差是指预测y值和真实y值之间的差值，使用该误差的简单累加
将使得正差值和负差值相互抵消，所以我们采用平方误差

 from numpy import *

 def loadDataSet(fileName):      #general function to parse tab -delimited floats
     numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1 #get number of fields
     dataMat = []; labelMat = []
     fr = open(fileName)
     for line in fr.readlines():
         lineArr =[]
         curLine = line.strip().split('\t')
         for i in range(numFeat):
             lineArr.append(float(curLine[i]))
         dataMat.append(lineArr)
         labelMat.append(float(curLine[-1]))
     return dataMat,labelMat

 def standRegres(xArr,yArr):
     xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
     xTx = xMat.T*xMat
     if linalg.det(xTx) == 0.0:
         print("This matrix is singular, cannot do inverse")
         return
     ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
     return ws

线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是具有最小均方误差的无偏估计。
显而易见，如果模型欠拟合将不能取得较好的预测结果。所以有些方法允许在估计中引入一些偏差，
从而降低预测的均方误差。
其中一个方法是局部加权线性回归（LWLR）。在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重；

 def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
     xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
     m = shape(xMat)[0]
     weights = mat(eye((m)))
     for j in range(m):                      #next 2 lines create weights matrix
         diffMat = testPoint - xMat[j,:]     #
         weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
     xTx = xMat.T * (weights * xMat)
     if linalg.det(xTx) == 0.0:
         print("This matrix is singular, cannot do inverse")
         return
     ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
     return testPoint * ws

如果数据的特征比样本点还多应该怎么办？是否可以使用线性回归和之前的方法来做预测？
答案是否定的，即不能再使用前面介绍的方法，这是因为在计算（x^T*x）^-1的时候会出错
如果特征比样本点还多（n>m）,也就是说输入数据的矩阵x不是满秩矩阵，非满秩矩阵在求逆
的时会出现问题，为解决这个问题，专家引入了岭回归的概念。简单来说，岭回归就是在矩阵
X^T*X上加一个λI从而使得矩阵非奇异，进而能对x^T*x+λI求逆。其中I是单位矩阵，λ是用户定

义的一个数值。

岭回归是缩减法的一种，相当于对回归系数的大小施加了限制。另一种很好的缩减法是lasso。Lasso难以求解，但可以使用计算简便的逐步线性回归方法来求得近似的结果

缩减法还可以看作是对一个模型增加偏差的同时减少方差。偏差方差分析折中是一个重要的概念，可以帮助我们理解现有规模并做出改进，从而得到更好的模型