Artwork (Gym - 102346A)【DFS、连通块】

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算法

DFS，连通块

时间复杂度：O(k*n + k * k)

1.这道题就是让你判断从(0,0)到(m,n)，避开中途所有的传感器(传感器的检测范围为半径为s的圆)的检测区域，最终能否到达(m,n)。

2.这道题很容易想到圆与圆相切或相交最后把能出去的路全堵上了，具体是把上下、左右、左下、右上这四个边界给堵掉一部分(只要满足前面四种情况的其中一个，就过不去)。见下图。

很明显，这样堵绝对出不去。然而方法是有，但怎么实现它呢？由于当时以为这是个复杂的计算几何的题，结果看了半天计算几何模板却无从下手(其实只涉及了一点计算几何的知识，就是判断两个圆是否相交或相切)，最终未果。查阅了一些解题博客后了解到该题可以用DFS,连通块的思想来实现，当然还有是用并查集实现，不过并没有看并查集是怎么实现它的，这里先只介绍如何用DFS来实现它。

3.首先应明确一点，就是如何判断两圆是否相交或相切，即圆心之间的距离要大于等于半径之和。

d = sqrt((x1 - x2)*(x1 - x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2))
d >= r1 + r2
为了避免sqrt后影响精度,故两边都开平方
d*d >= (r1 + r2)*(r1 + r2)
即(x1 - x2)*(x1 - x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2) >= (r1 + r2)*(r1 + r2)

4.如果两个圆相交或相切，我们可以就把它们视为一体，这样就构成了一个连通块，判断连通块是否满足上面四个条件。至于如何判断，就是判断连通块中的每个圆是否触及边界，具体用下列式子来判断。

x - r <= 0	-->	触及左边界
x + r >= m	-->	触及右边界
y - r <= 0	-->	触及下边界
y + r >= n	-->	触及上边界

5.好了，现在知道怎么判断是否触及边界了，那么就需要想一下怎么知道连通块中包含哪些圆呢？这里我们可以借助图论的相关知识。就是如果两个圆有接触，就在这两个圆之间建立一条连接，我们可以把这个圆抽象成一个节点，这就变成了在两个节点之间建立一条无向边，这个连通块就成了一个图。遍历这个图即可知道这个连通块包含哪些圆。

6.大致的实现思路有了，现在我们来看如何用代码实现。

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2e6 + 10;   //注意M要取到N*N,原因是其中一个圆可能和其他所有圆都相交或相切
int m, n, k;
struct Sensor{
    int x, y, s;
}sen[N];
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[5];         //0,1,2,3分别代表上下左右四个边界是否接触
bool vis[N];        //该圆是否被访问过
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}
//判断两圆是否相交或相切
bool check(Sensor a, Sensor b)
{
    if((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y) <= (a.s + b.s) * (a.s + b.s)) return true;
    return false;
}
void dfs(int u)
{
    vis[u] = true;
    int x = sen[u].x, y = sen[u].y, s = sen[u].s;
    if(x - s <= 0) st[2] = true;
    if(x + s >= m) st[3] = true;
    if(y - s <= 0) st[1] = true;
    if(y + s >= n) st[0] = true;
    //遍历与该圆连通的圆
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(!vis[j])
            dfs(j);
    }
}
int main()
{
    cin >> m >> n >> k;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 0; i < k; i++)
        cin >> sen[i].x >> sen[i].y >> sen[i].s;
    for(int i = 0; i < k; i++)
        for(int j = i + 1;j < k; j++)
        {
            if(check(sen[i], sen[j]))
            {
                add(i, j);
                add(j, i);
            }
        }
    bool flag = false;
    for(int i = 0; i < k; i++)
    {
        if(flag) break;
        if(vis[i]) continue;
        memset(st, 0, sizeof st);
        dfs(i);
        if((st[0] || st[2]) && (st[1] || st[3]))
            flag = true;
    }
    if(flag)
        puts("N");
    else
        puts("S");
}

此代码中使用的用邻接表建立图来源于yxc大佬的模板

解题思路来源