题解 CF576D 【Flights for Regular Customers】

对每条边来说，可以走这条边的限制解除是按\(d\)的顺序，所以先对每条边按\(d\)排序。

然后考虑每两条边之间的处理，用一个矩阵表示当前走\(d\)步是否可以从一个点到另一个点，称其为状态矩阵，用另一个矩阵表示当前解除了限制的边，称其为边矩阵。

每次新加入一条边时，让状态矩阵乘上当前边矩阵的\(d_i-d_{i-1}\)次方，即可更新走当前步数\(d\)步点与点之间到达的状态，这一过程可以用矩阵快速幂和\(bitset\)进行优化。

然后用\(floyd\)处理出以当前解除限制的边的最短路，若起点能通过\(d\)步到达一个点，那么就用这个点到终点的最短路径加上\(d\)来更新答案。

具体实现看代码吧。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200
#define all 150
#define inf 200000000000
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
ll n,m,ans=inf;
ll f[maxn][maxn];
struct edge
{
    int x,y,d;
}ed[maxn];
bool cmp(const edge &x,const edge &y)
{
    return x.d<y.d;
}
struct matrix
{
	bitset<maxn> a[maxn];
	matrix()
	{
        for(int i=1;i<=all;++i) a[i].reset();
	}
}t;
matrix operator *(const matrix &x,const matrix &y)
{
    matrix z;
    for(int k=1;k<=n;++k)
    	for(int i=1;i<=n;++i)
        	if(x.a[i][k])
        		z.a[i]|=y.a[k];
	return z;
}
int main()
{
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
        read(ed[i].x),read(ed[i].y),read(ed[i].d);
    sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i) t.a[i][i]=1;
    for(int p=1;p<=m;++p)
    {
        matrix e;
        for(int i=1;i<p;++i) e.a[ed[i].x][ed[i].y]=1;
        ll k=ed[p].d-ed[p-1].d;
        while(k)
        {
            if(k&1) t=t*e;
            e=e*e,k>>=1;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(i==j) f[i][j]=0;
                else f[i][j]=inf;
            }
        }
        for(int i=1;i<=p;++i) f[ed[i].x][ed[i].y]=1;
        for(int k=1;k<=n;++k)
            for(int i=1;i<=n;++i)
                for(int j=1;j<=n;++j)
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(t.a[1][i])
                ans=min(ans,ed[p].d+f[i][n]);
    }
    if(ans==inf) puts("Impossible");
    else printf("%lld",ans);
    return 0;
}