OIer应该知道的二进制知识

计算机使用\(2\)进制，这是众所周知的。在学习\(OI\)的过程中，\(2\)进制也显得尤为重要。有时候，细节决定成败，所以我想总结一下容易被遗忘和误解的关于\(2\)进制的知识。

1、运算符

&：与。1&1=1，1&0=0，0&0=0；（同真为真）

|：或。1|1=1，1|0=1，0|0=0；（一真俱真）

^：异或。1 ^ 1=0，1 ^ 0=1， 0 ^ 0=0；（阴阳协调为好，极阴或极阳皆为坏）

num>>len：将num左移len位，低位溢出舍弃，高位不足补0。比如1010>>3就等于0001

num<<len：将num右移len位，高位溢出舍弃，低位不足补0。比如1010<<3就等于0000

~：全位取反。比如 ~ 1010=0101

位运算优先级要比加减乘除等运算优先级低，所以用的时候记得加括号。

2、原码，补码，反码

对于这三个东西我并不是很清楚他们分别是什么意思，在\(OI\)中，我觉得记住下面几点就可以了。

二进制数的第一位表示符号，\(0\)为整数，\(1\)为负数。\(int\)作为一个\(32\)位整形数据类型可以保存\([-2^{31}-1，2^{31}-1]\)的所有整数。因为第一位存符号去了，所以只是到\(2^{31}\)而不是\(2^{32}\)。\(unsigned\) \(int\)不保存符号位就可以到\(2^{32}\)。\(long\) \(long\)同理。所谓溢出就是数值超过\(32\)位二进制数能存的范围（\(64\)位同理，我们以\(int\)为例）。比如\(01111111111111111111111111111111\)（十进制下是\(2147483647\)）也就是\(int\)能保存的最大的数字。加上一个\(1\)之后理应是\(2147483648\)，二进制下就是\(10000000000000000000000000000000\)。但是因为第一位是符号位，所以就变成负数了。而每个数逐位取反都是自己的相反数\(-1\)，所以\(～2147483647=-2147483648\)。再举几个例子：

比如\(-1(11111111111111111111111111111111)\)取反之后就是\(0(000000000000000000000000)\)。所以我们也可以由这一点快速求出一个数的相反数，就是逐位取反之后再\(+1\)，也就是\(～num+1=-num\)

比如～\(1(00000000000000000000000000000001)+1=-1(11111111111111111111111111111111)\)

3、lowbit

\(lowbit(i)\)表示\(i\)在二进制下从低位到高位第一个\(1\)与它后边跟着的\(0\)是多大。比如\(lowbit(24[11000])=8[1000]\)

显然，我们会一种\(O(logn)\)的求法求\(lowbit(i)\)。但是运用上面的知识，我们可以\(O(1)\)求\(lowbit(i)\)

假设某个数二进制表示下后面一段是\(1000..000\)，前面我们不管。把它逐位取反就变成了前面一段取反加上\(011111...111\)。这个时候两个数&起来是等于\(0\)的，因为没有哪个位置同为\(1\)。假设我们把取反之后的数字\(+1\)。那么就会变成原数前面一段取反加\(100....000\)。这个时候&起来，前面是反的，全部都会变成\(0\)，刚刚好\(lowbit(i)\)所求的部分会被保存下来，所以\(lowbit(i)=i\)&\(((\)~\(i)\)+1\()\)。也就是\(lowbit(i)=i\)&\((-i)\)

4、memset

在很久以前我就疑惑过，为啥\(int\)类型占\(4\)字节，\(long\) \(long\)占\(8\)字节。我们可以灵性的理解一波，在二进制下，每八位占一个字节。而\(memset\)，可以将某个数的每八位全部赋值成一样的数字。比如\(memset(a,1,sizeof(a))\)。就是把\(a\)数组里的每一个值都赋值成\(00000001000000010000000100000001\)。\(memset(a,255,sizeof(a))\)就是把\(a\)数组里的每一个数值都赋值成\(111111111111111111111111\)。\(0x7F\)，是一个十六进制数，表示\(16^1*7+16^0*15=127\)。\(0x\)放在前面起声明这是个十六进制数的作用。由于\(2\)位十六进制数相当于\(8\)位二进制数，所以我们一般在\(memset\)里写两位十六进制数。\(memset(a,0x7F,sizeof(a))\)是将\(a\)数组全部赋值成为\(01111111011111110111111101111111\)，这是\(memset\)能赋值出的最大的有符号类型整数。\(0x3F\)=\(16^1*3+16^0*15=63\)，相对于\(0x7F\)，这个数字更加不容易加爆，所以后面涉及加法的情况下，我们还是有\(memset(a,0x3f,sizeof(a))\)比较好。