Luogu[P1108] 低价购买

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\(\mathcal{\color{red}{Description}}\)

请你求出一个数列的最长下降子序列长度，并为此求出其方案数。

\[1 \leq N \leq 5000
\]

\(\mathcal{\color{red}{Solution}}\)

乍一看这个复杂度其实是卡死的……如果是\(n^2\)的话，我们的处理规模达到了\(25,000,000\)，时限一秒的话……会感到很紧迫\(qwq\)，但是的确能跑出来。

我们下来思索，对于最朴素的算法，如果不求方案数的话，是要用\(dp[i]\)表示到第\(i\)位的最长下降子序列长度，我们的纸张算法长这样：

for(i = 1; i <= N; i ++)
	for(j = 1; j <= N; j ++){
		if (base[i] < base[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1), ans = max(dp[i], ans);
	}

那么，这样的话，对于第二问，我们就可以比较容易地求出方案数，做法是我们对第一问的DP数组再DP一次，就像这样：

for(i = 1; i <= N; i ++){
	if(dp[i] == 1) f[i] = 1 ;
	for(j = 1; j <= N: j ++)
		if(base[i] < base[j] && dp[j] == dp[i] - 1) f[i] += f[j] ;
		else if(base[i] == base[j] && dp[j] == dp[i]) f[i] = 0 ;
	if(f[i] == ans) res ++ ;
	}

嗯，这个应该挺好想的，本蒟唯一想错了的一点是，当时第二层循环里的else后面不应该是--应该是直接置为0才对qwq。

嗯，然后呢这就是\(n^2\)做法。但我一开始写的是\(nlogn\)做法，但是发现\(nlogn\)的话，第二问就不能在第一问的基础上dp了……真是件扫兴的事啊QAQ。

存一波代码\(qwq\)

    #include <cstdio>
    #include <iostream>
    #define MAXN 10010

    using namespace std ;
    int l, r, mid, i, j, ans ;
    int Len = 1, N, base[MAXN], f[MAXN], dp[MAXN] ;

    inline int qr(){
        int k = 0 ; char c = getchar() ;
        while(!isdigit(c)) c = getchar() ;
        while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48, c = getchar();
        return k ;
    }
    int main() {
        N = qr( ) ;
        for(i = 1; i <= N; i ++){base[i] = qr( ); f[i] = 1 ;}
        for(i = 1; i <= N; i ++)
        	for(j = 1; j < i; j ++){
        		if(base[j] > base[i] && f[i] < f[j] + 1){
        			f[i] = f[j] + 1 ;
        			Len = max(Len, f[i]) ;
        		}
        	}
        cout << Len << " " ;
        for(i = 1; i <= N; i ++){
            if(f[i] == 1) dp[i] = 1 ;
            for(j = 1 ;j < i; j ++){
                if(f[i] == f[j] + 1 && base[i] < base[j]) dp[i] += dp[j] ;
                if(f[i] == f[j] && base[i] == base[j]) dp[i] = 0 ;
            }
            if(f[i] == Len) ans += dp[i] ;
        }
        cout << ans ;
        return 0 ;
    }

\(Xcode\)写出来的……画风诡异\(emmm\)