bzoj5153 [Wc2018]州区划分

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正解：子集和变换。

考场上只会暴力和$p=0$的情况，还只会$O(2^{n}*n^{3})$的。

然而这题题面出锅，导致考场上一直在卡裸暴力，后面的部分分没写了。。听$laofu$说$O(2^{n}*n^{3})$可以过。。

所以直接讲正解。。

我们假设每个城市可以在两个不同集合，那么可以把子集卷积变成或卷积。

我们只要记下当前总共有多少个点，于是考虑设$f[i][S]$表示$i$个点，集合为$S$的方案数。

最后的$f[n][all]$就是答案，显然这个状态中的每个城市只会出现一次。

那么$f[i][S]=\sum f[j][T]*(\frac{sum[A]}{sum[S]})^{p}$，其中$A|T=S$，且$A$是一个合法集合。

可以把分母移项到左边，然后我们可以设$g[i][S]$表示如果$S$是一个合法集合，且$S$的位数为$i$，那么$g[i][S]=sum[S]^{p}$，否则为$0$。

那么$f[i][S]*sum[S]^{p}=\sum f[j][T]*g[i-j][A]$。注意到这个式子可以直接$FMT$以后点乘，再$IFMT$回来以后作除法得到，总复杂度为$O(2^{n}*n^{2})$。

感觉这道题其实并没有那么难，但是考场上被题面以及固定的套路给局限住了，所以并没有想到可以交换$dp$的两维状态从而优化复杂度。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define rhl (998244353)
 #define N (1<<21|1)

 using namespace std;

 int fa[],g[],w[N],cnt[N],can[N],inv[],n,m,p,all;
 int f[][N],h[][N];

 il int gi(){
   RG int x=,q=; RG char ch=getchar();
   while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();
   if (ch=='-') q=-,ch=getchar();
   while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
   return q*x;
 }

 il int qpow(RG int a,RG int b){
   if (!b) return ;
   if (b==) return a;
   return 1LL*a*a%rhl;
 }

 il void fmt(int *a){
   for (RG int i=;i<all;i<<=)
     for (RG int j=;j<all;++j){
       if (j&i) a[j]+=a[j^i];
       if (a[j]>=rhl) a[j]-=rhl;
     }
   return;
 }

 il void ifmt(int *a){
   for (RG int i=;i<all;i<<=)
     for (RG int j=;j<all;++j){
       if (j&i) a[j]-=a[j^i];
       if (a[j]<) a[j]+=rhl;
     }
   return;
 }

 il int find(RG int x){
   return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]);
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("walk.in","r",stdin);
   freopen("walk.out","w",stdout);
 #endif
   n=gi(),m=gi(),p=gi(),all=<<n,inv[]=;
   for (RG int i=,u,v;i<=m;++i)
     u=gi()-,v=gi()-,g[u]|=<<v,g[v]|=<<u;
   for (RG int i=;i<=;++i)
     inv[i]=1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
   for (RG int i=;i<n;++i) w[<<i]=gi(); fmt(w);
   for (RG int i=;i<all;++i) cnt[i]=cnt[i>>]+(i&);
   for (RG int i=,fg,lst;i<all;++i){
     fg=,lst=-;
     for (RG int j=;j<n;++j) fa[j]=j;
     for (RG int j=;j<n;++j){
       if (!(i>>j&)) continue;
       for (RG int k=,x,y;k<n;++k){
     if (!(i>>k&) || !(g[j]>>k&)) continue;
     x=find(j),y=find(k); if (x!=y) fa[x]=y;
       }
     }
     for (RG int j=;j<n;++j){
       if (i>>j&){
     if (lst==-) lst=find(j);
     else if (lst!=find(j)){ fg=; break; }
       }
       if ((i>>j&) && (cnt[g[j]&i]&)){ fg=; break; }
     }
     can[i]=fg;
   }
   for (RG int i=;i<all;++i) if (can[i]) h[cnt[i]][i]=qpow(w[i],p);
   for (RG int i=;i<=n;++i) fmt(h[i]); f[][]=,fmt(f[]);
   for (RG int i=;i<=n;++i){
     int *F=f[i];
     for (RG int j=;j<i;++j){
       int *a=f[j],*b=h[i-j];
       for (RG int s=;s<all;++s)
     F[s]=(1LL*a[s]*b[s]+F[s])%rhl;
     }
     ifmt(F);
     for (RG int s=;s<all;++s)
       F[s]=i==cnt[s]?1LL*F[s]*qpow(inv[w[s]],p)%rhl:;
     if (i^n) fmt(F);
   }
   cout<<f[n][all-]; return ;
 }