B-Spline 样条学习笔记

（1） 对于clamped样条曲线，节点区间的数目等于曲线段的数目。

　　eg: B-样条曲线有11个控制点(即，n = 10), 3次P样条 (即， p=3)  ，由 m=n+p+1 则有15 个节点 (m = 14)，又因为是clamped曲线，则其中头四个(p+1)和最后四个节点(p+1个) 都相等，即节点区间分为：7段，有效节点有15-p-p = 9个，分为8段。

　　如果这8段是平均间隔，则是均匀的B-Spline曲线。否则称为不均匀的B-Spline曲线。

　　可以如下表示：clamped节点向量是u₀(p+1), u_p+1, ..., u_m-p-1, u_m(p+1)。

　　一个clamped B-样条曲线经过第一个和最后一个控制点。实际上，它也与控制折线的第一边和最后一边相切。

　　

（2）更低次曲线而仍然保持很多控制点， 即由m=n+p+1, 如果节点向量（m+1）不变，则如果B-spline曲线次数p减少,则控制点的数量（n+1）强增加；

（3） 曲线中的几个概念：控制点数量(n+1)，节点数量（m+1），曲线次数p

　　是个由13个控制点 control points (即， n = 12)和18个节点(即， m = 17)定义的4次 (即， p = 4)B-样条曲线 ；

（4）一个p次B-样条曲线在简单节点上是 C^p-1 在其他空间是无限可微的；如果这个点是t个相邻控制点重合，在那个控制点上，连续性是C^p-t 。

　　即，如果p次曲线，且有p 个相邻控制点重合，则在那个控制点上，连续性是C⁰ 。

　　增加一个内部节点的重复度会减小在该节点的非零基函数的数目。实际上，如果该节点的重复度是 k, 最多在该节点上有 p - k + 1 个非零函数。而且，在该节点的基函数是C^p-k 连续的。如果 k = p, 只有一个非零基函数在该节点上，只有一个控制点有非零系数。结果，曲线通过该点。

（5）因为B-样条曲线是许多曲线段的组合，每个定义于一个节点区间上，修改一个或多个节点位置会改变相应的曲线段和节点区间，因此改变曲线的形状。