CH Round #53 -GCD Path

描述

给定一张N个点的有向图，点i到点j有一条长度为 i/(gcd(i,j))的边。有Q个询问，每个询问包含两个数x和y，求x到y的最短距离。

输入格式

第一行包含两个用空格隔开的整数，N和Q。
接下来Q行，每行两个数x和y。

输出格式

输出Q行整数，表示从x到y的最短距离。

样例输入

6 2
4 6
2 5

样例输出

2
2

数据范围与约定

• 对于30%的数据，1<=N<=100。
• 对于70%的数据，1<=N<=10^5。
• 对于100%的数据，1<=N<=10^7，1<=x,y<=N，Q<=10^5。

题解：
忽然发现，求1-n的质因数分解的和是可以线性筛的，怒赞！
为何不卡我们这些q*sqrt（n）的？出题人良心，好评！！！
代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<vector>

 #include<map>

 #include<set>

 #include<queue>

 #include<string>

 #define inf 1000000000

 #define maxn 10000000+1000

 #define maxm 500+100

 #define eps 1e-10

 #define ll long long

 #define pa pair<int,int>

 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

 #define mod 1000000007

 using namespace std;

 inline int read()

 {

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }
 int n,m,tot,p[maxn],f[maxn];
 bool check[maxn];
 inline int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
 void get()
 {
     f[]=;tot=;
     for2(i,,n)
     {
         if(!check[i]){p[++tot]=i;f[i]=i;};
         for1(j,tot)
         {
             int k=p[j]*i;
             if(k>n)break;
             check[k]=;
             f[k]=f[i]+p[j];
             if(i%p[j]==)break;
         }
     }
 }

 int main()

 {

     freopen("input.txt","r",stdin);

     freopen("output.txt","w",stdout);

     n=read();m=read();get();
     while(m--)
     {
         int x=read(),y=read();
         if(x==y){printf("0\n");continue;};
         printf("%d\n",f[x/gcd(x,y)]);
     }

     return ;

 }

补一下为什么质因数分解就是ans

假设求x->y的最短路，则直接走 这条路  长度为x/gcd（x，y）设这个长度的质因数分解为a1*a2*a3*a4……(两项可以相等）

然后要用到一个结论：

若a>=2,b>=2,则a+b<=a*b

移项就是 （1-a）*（1-b）>=1  这是显然的。

所以我们不妨把这个长度分开来走，

因为每拆一项都会使答案减小或不边，那我们不妨直接将该数全部分解为质数，一个一个质数来走。

举个例子

100-1，则100/gcd（100，1）的质因数分解为2*2*5*5

我们不妨使每次走的长度为2 2 5 5，而2+2+5+5=14<100 这样使长度之和达到最小。

所以我们可以这样走 100->50->25->5->1->1

有没有更短的路径呢？严格证法还待yy，不过貌似直觉上是显然的？